Menu Close

calculate-0-cos-2x-x-2-1-2-x-2-4-dx-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 145745 by mathmax by abdo last updated on 07/Jul/21
calculate ∫_0 ^∞ ((cos(2x))/((x^2 +1)^2 (x^2 +4)))dx
$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)}\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jul/21
Ψ=∫_0 ^∞ ((cos(2x))/((x^2 +1)^2 (x^2 /+4)))dx ⇒2Ψ=Re(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(2ix) /((x^2 +1)^2 (x^2 +4)))dx) ϕ(z)=(e^(2iz) /((z^2 +1)^2 (z^2 +4)))⇒ϕ(z)=(e^(2iz) /((z−i)^2 (z+i)^2 (z−2i)(z+2i))) ∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz=2iπ{Res(ϕ,i) +Res(ϕ,2i)} Res(ϕ,i)=lim_(z→i) (1/((2−1)!)){(z−i)^2 ϕ(z)}^((1)) =lim_(z→i) {(e^(2iz) /((z+i)^2 (z^2 +4)))}^((1)) =lim_(z→i) ((2ie^(2iz) (z+i)^2 (z^2 +4)−(2(z+i)(z^2 +4)+2z(z+i)^2 )e^(2iz) )/((z+i)^4 (z^2 +4)^2 )) =((2ie^(−2) (−4)(3)−(4i(3)+2i(−4))e^(−2) )/((−4)^2 .3^2 )) =((−24e^(−2) −4ie^(−2) )/(16.9)) Res(ϕ,2i)=lim_(z→2i) (z−2i)ϕ(z)=lim_(z→2i) (e^(−4) /(4i(−3)^2 ))=(e^(−4) /(36i)) ⇒ ∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ{((−24e^(−2) −4ie^(−2) )/(144)) +(e^(−4) /(36i))} =2iπ(−((24)/(144))e^(−2) )+((8π)/(144))e^(−2) +(π/(18))e^(−4) 2Ψ=Re(....) ⇒2Ψ=((4π)/(72))e^(−2) +(π/(18))e^(−4) ⇒ Ψ=(π/(36))e^(−2) +(π/(36))e^(−4)
$$\Psi=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} /+\mathrm{4}\right)}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{2}\Psi=\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2iz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)}\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2iz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}−\mathrm{2i}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{2i}\right)} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\left\{\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)\:+\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{2i}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\left\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2iz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)}\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\frac{\mathrm{2ie}^{\mathrm{2iz}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)−\left(\mathrm{2}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)+\mathrm{2z}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{\mathrm{2iz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2ie}^{−\mathrm{2}} \left(−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{3}\right)−\left(\mathrm{4i}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{2i}\left(−\mathrm{4}\right)\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} }{\left(−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{−\mathrm{24e}^{−\mathrm{2}} −\mathrm{4ie}^{−\mathrm{2}} }{\mathrm{16}.\mathrm{9}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{2i}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{2i}} \:\left(\mathrm{z}−\mathrm{2i}\right)\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{2i}} \frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{4}} }{\mathrm{4i}\left(−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{4}} }{\mathrm{36i}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\frac{−\mathrm{24e}^{−\mathrm{2}} −\mathrm{4ie}^{−\mathrm{2}} }{\mathrm{144}}\:+\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{4}} }{\mathrm{36i}}\right\} \\ $$$$=\mathrm{2i}\pi\left(−\frac{\mathrm{24}}{\mathrm{144}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \right)+\frac{\mathrm{8}\pi}{\mathrm{144}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \:+\frac{\pi}{\mathrm{18}}\mathrm{e}^{−\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{2}\Psi=\mathrm{Re}\left(….\right)\:\Rightarrow\mathrm{2}\Psi=\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{72}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \:+\frac{\pi}{\mathrm{18}}\mathrm{e}^{−\mathrm{4}} \:\Rightarrow \\ $$$$\Psi=\frac{\pi}{\mathrm{36}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \:+\frac{\pi}{\mathrm{36}}\mathrm{e}^{−\mathrm{4}} \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *