Question-145773

Question Number 145773 by help last updated on 07/Jul/21

Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Jul/21

→4r^2 +24r+37=0 Δ^′ =12^2 −4×37 =144−148=−4 ⇒ r_1 =((−12+2i)/4)=−3+(1/2)i and r_2 =((−12−2i)/4)=−3−(1/2)i y(x)=ae^(r_1 x) +be^(r_2 x) =ae^((−3+(i/2))x) +b e^((−3+(i/2))x) =e^(−3x) (αcos((x/2))+βsin((x/2))) y(π)=1 ⇒e^(−3π) (α0+β)=1 ⇒β=e^(3π) y^′ (x)=−3e^(−3x) (αcos((x/2))+βsin((x/2)))+e^(−3x) (−(α/2)sin((x/2))+(β/2)cos((x/2))) y^′ (π)=0 ⇒−3e^(−3π) (β)+e^(−3π) (−(α/2))=0 ⇒ −3−(e^(−3π) /2)α =0 ⇒(e^(−3π) /2)α=3 ⇒α=6 e^(3π) ⇒ y(x)=e^(−3x) (6e^(3π) cos((x/2))+e^(3π) sin((x/2))) =e^(3(π−x)) { cos((x/2))+sin((x/2))}

$$\rightarrow\mathrm{4r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{24r}+\mathrm{37}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta^{'} \:=\mathrm{12}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}×\mathrm{37}\:=\mathrm{144}−\mathrm{148}=−\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{12}+\mathrm{2i}}{\mathrm{4}}=−\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{12}−\mathrm{2i}}{\mathrm{4}}=−\mathrm{3}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i} \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ae}^{\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{\mathrm{r}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \:=\mathrm{ae}^{\left(−\mathrm{3}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{3}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \left(\alpha\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\beta\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{y}\left(\pi\right)=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\pi} \left(\alpha\mathrm{0}+\beta\right)=\mathrm{1}\:\Rightarrow\beta=\mathrm{e}^{\mathrm{3}\pi} \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{3e}^{−\mathrm{3x}} \left(\alpha\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\beta\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \left(−\frac{\alpha}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\beta}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\pi\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{3e}^{−\mathrm{3}\pi} \left(\beta\right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\pi} \left(−\frac{\alpha}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$−\mathrm{3}−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\pi} }{\mathrm{2}}\alpha\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\pi} }{\mathrm{2}}\alpha=\mathrm{3}\:\Rightarrow\alpha=\mathrm{6}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3}\pi} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \left(\mathrm{6e}^{\mathrm{3}\pi} \mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{e}^{\mathrm{3}\pi} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{3}\left(\pi−\mathrm{x}\right)} \left\{\:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$

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