Question Number 146054 by mnjuly1970 last updated on 10/Jul/21
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{I}\::=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\infty} {e}^{\:−{x}} \:.\:\mathrm{J}_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\left({x}\:\right)\:{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{J}_{{v}\:} \:\left({x}\:\right)\:=\:{x}^{\:{v}} \:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\:\infty} {\sum}}\frac{\left(−\:\mathrm{1}\:\right)^{\:{n}} \:{x}^{\:\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}^{\:{n}\:+\:{v}} \:{n}\:!\:\Gamma\:\left(\:{n}\:+\:{v}\:+\mathrm{1}\:\right)} \\ $$$$\:\:\:…. \\ $$