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n-1-n-ln-2n-1-2n-1-1-

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Question Number 146429 by qaz last updated on 13/Jul/21
Σ_(n=1) ^∞ (n∙ln((2n+1)/(2n−1))−1)=?
$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\mathrm{n}\centerdot\mathrm{ln}\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right)=? \\ $$
Commented by qaz last updated on 14/Jul/21
Σ_(n=1) ^∞ (n∙ln((2n+1)/(2n−1))−1) =Σ_(n=1) ^∞ (nln(2n+1)−nln(2n−1)−1) =Σ_(n=1) ^∞ ∫_0 ^1 ((n/(x+2n))−(n/(x−2n))−1)dx =Σ_(n=1) ^∞ ∫_0 ^1 ((x^2 /((2n)^2 −x^2 )))dx =(1/4)Σ_(n=1) ^∞ ∫_0 ^1 x((1/(n−(x/2)))−(1/(n+(x/2))))dx =(1/4)∫_0 ^1 x(ψ(1+(x/2))−ψ(1−(x/2)))dx =(1/4)∫_0 ^1 (2−πxcot ((πx)/2))dx =(1/2)−(1/2)∫_0 ^1 xd(lnsin ((πx)/2)) =(1/2)−(1/2)(xlnsin ((πx)/2)∣_0 ^1 −∫_0 ^1 lnsin ((πx)/2)dx) =(1/2)−(1/2)∙(2/π)∙(π/2)ln2 =(1/2)(1−ln2)
$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\mathrm{n}\centerdot\mathrm{ln}\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\mathrm{nln}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{nln}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{x}+\mathrm{2n}}−\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{x}−\mathrm{2n}}−\mathrm{1}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{2n}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}\left(\psi\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)−\psi\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}−\pi\mathrm{xcot}\:\frac{\pi\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{xd}\left(\mathrm{lnsin}\:\frac{\pi\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{xlnsin}\:\frac{\pi\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{lnsin}\:\frac{\pi\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{2}}{\pi}\centerdot\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{ln2}\right) \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 13/Jul/21
S_N = Σ_(n=1) ^N (nln((2n+1)/(2n−1))−1) S_N = Σ_(n=1) ^N (nln(2n+1)−nln(2n−1)−1) S_N = Σ_(n=1) ^N ((n+1)ln(2n+1)−nln(2n−1)−ln(2n+1)−1) S_N = (N+1)ln(2N+1)−lnΠ_(n=1) ^N (2n+1)−N S_N = (N+1)ln(2N+1)−ln(((2N+1)!)/(2^N N!))−N S_N = ln((2^N N!(2N+1)^(N+1) )/((2N+1)!e^N )) Stirling formula : n! ∼ (√(2πn))((n/e))^n S_N ∼ ln((2^N (√(2πN))((N/e))^N (2N+1)^(N+1) )/( (√(2π(2N+1)))(((2N+1)/e))^(2N+1) e^N )) S_N ∼ ln((e2^N N^N )/( (2N+1)^N ))(√(N/(2N+1))) S_N ∼ ln(e/( (1+(1/(2N)))^N ))(√(N/(2N+1))) S_N ∼ ln((e/( (√e))).(1/( (√2)))) S_N ∼ (1/2)(1−ln2)
$$ \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{N}} \:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{N}} {\sum}}\left({n}\mathrm{ln}\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{N}} \:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{N}} {\sum}}\left({n}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)−{n}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{N}} \:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{N}} {\sum}}\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)−{n}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{N}} \:=\:\left(\mathrm{N}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{2N}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{ln}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{N}} {\prod}}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{N} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{N}} \:=\:\left(\mathrm{N}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{2N}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{ln}\frac{\left(\mathrm{2N}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{\mathrm{N}} \mathrm{N}!}−\mathrm{N} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{N}} \:=\:\mathrm{ln}\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{N}} \mathrm{N}!\left(\mathrm{2N}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{N}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2N}+\mathrm{1}\right)!{e}^{\mathrm{N}} } \\ $$$$\mathrm{Stirling}\:\mathrm{formula}\::\:{n}!\:\sim\:\sqrt{\mathrm{2}\pi{n}}\left(\frac{{n}}{{e}}\right)^{{n}} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{N}} \:\sim\:\mathrm{ln}\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{N}} \sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{N}}\left(\frac{\mathrm{N}}{{e}}\right)^{\mathrm{N}} \left(\mathrm{2N}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{N}+\mathrm{1}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{2N}+\mathrm{1}\right)}\left(\frac{\mathrm{2N}+\mathrm{1}}{{e}}\right)^{\mathrm{2N}+\mathrm{1}} {e}^{\mathrm{N}} } \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{N}} \:\sim\:\mathrm{ln}\frac{{e}\mathrm{2}^{\mathrm{N}} \mathrm{N}^{\mathrm{N}} }{\:\left(\mathrm{2N}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{N}} }\sqrt{\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{2N}+\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{N}} \:\sim\:\mathrm{ln}\frac{{e}}{\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2N}}\right)^{\mathrm{N}} }\sqrt{\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{2N}+\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{N}} \:\sim\:\mathrm{ln}\left(\frac{{e}}{\:\sqrt{{e}}}.\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{N}} \:\sim\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{ln2}\right) \\ $$
Commented by qaz last updated on 14/Jul/21
thank you sir olf
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\:\mathrm{sir}\:\mathrm{olf} \\ $$

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