Question Number 132386 by liberty last updated on 13/Feb/21
$$\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\begin{cases}{\mathrm{ln}\:{i}}\\{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{3}+\mathrm{4}{i}\right)}\end{cases} \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 13/Feb/21
$$\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\:{i}\:=\:\mathrm{ln}\:\mid{i}\mid\:+{i}\:\left(\mathrm{arg}\:\left({i}\right)+\mathrm{2}{n}\pi\right)=\mathrm{ln}\:\mathrm{1}+{i}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{2n}\pi\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{3}+\mathrm{4}{i}\right)=\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{3}+\mathrm{4}{i}\mid=\mathrm{ln}\:\sqrt{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }\:+{i}\left(\mathrm{arctan}\:\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{2}{n}\pi\right) \\ $$$$\:=\:\mathrm{ln}\:\mathrm{5}\:+{i}\left(\mathrm{arctan}\:\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{2}{n}\pi\right) \\ $$$$\mathrm{principal}\:\mathrm{value}\:\mathrm{logarithms}\:\mathrm{log}\:\left(\mathrm{z}\right)\:\mathrm{set}\:\mathrm{n}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{ln}\:{i}\:=\:{i}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{3}+\mathrm{4}{i}\right)\:=\:\mathrm{ln}\:\mathrm{5}\:+\:{i}\:\mathrm{arctan}\:\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)}\end{cases} \\ $$