Question-147764

Question Number 147764 by puissant last updated on 23/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 23/Jul/21

Le plan π a pour equation : x−y+z = 2 Le vecteur N^→ (((+1)),((−1)),((+1)) ) est un vecteur normal a π. La droite I a pour equation : ((x−2)/2) = ((y+1)/2) = (z/1) Le vecteur u^→ (((+2)),((+2)),((+1)) ) est un vecteur directeur de I. u^→ •N^→ = ∣∣u^→ ∣∣×∣∣N^→ ∣∣×cos(u^→ ,N^→ ) u^→ •N^→ = 3×(√3)×cos(u^→ ,N^→ ) (1) u^→ •N^→ = x_u^→ x_N^→ +y_u^→ y_N^→ +z_u^→ z_N^→ u^→ •N^→ = (+2)(+1)+(+2)(−1)+(+1)(+1) u^→ •N^→ = 1 (2) (1) et (2) : cos(u^→ ,N^→ ) = (1/( 3(√3))) L′angle entre la droite I est le plan π est le complement a (π/2) de l′angle entre la droite I et un vecteur normal au plan π. Le sinus du premier est donc egal au cosinus du second. Le sinus est donc (1/( 3(√3))).

$$\mathrm{Le}\:\mathrm{plan}\:\pi\:\mathrm{a}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{equation}\:: \\ $$$${x}−{y}+{z}\:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{vecteur}\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}\begin{pmatrix}{+\mathrm{1}}\\{−\mathrm{1}}\\{+\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{vecteur} \\ $$$$\mathrm{normal}\:\mathrm{a}\:\pi. \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{droite}\:\mathrm{I}\:\mathrm{a}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{equation}\:: \\ $$$$\frac{{x}−\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{{z}}{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{vecteur}\:\overset{\rightarrow} {{u}}\begin{pmatrix}{+\mathrm{2}}\\{+\mathrm{2}}\\{+\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{vecteur} \\ $$$$\mathrm{directeur}\:\mathrm{de}\:\mathrm{I}. \\ $$$$ \\ $$$$\overset{\rightarrow} {{u}}\bullet\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}\:=\:\mid\mid\overset{\rightarrow} {{u}}\mid\mid×\mid\mid\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}\mid\mid×\mathrm{cos}\left(\overset{\rightarrow} {{u}},\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}\right) \\ $$$$\overset{\rightarrow} {{u}}\bullet\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}\:=\:\mathrm{3}×\sqrt{\mathrm{3}}×\mathrm{cos}\left(\overset{\rightarrow} {{u}},\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}\right)\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\overset{\rightarrow} {{u}}\bullet\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}\:=\:{x}_{\overset{\rightarrow} {{u}}} {x}_{\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}} +{y}_{\overset{\rightarrow} {{u}}} {y}_{\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}} +{z}_{\overset{\rightarrow} {{u}}} {z}_{\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}} \\ $$$$\overset{\rightarrow} {{u}}\bullet\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}\:=\:\left(+\mathrm{2}\right)\left(+\mathrm{1}\right)+\left(+\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{1}\right)+\left(+\mathrm{1}\right)\left(+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\overset{\rightarrow} {{u}}\bullet\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}\:=\:\mathrm{1}\:\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{2}\right)\::\:\mathrm{cos}\left(\overset{\rightarrow} {{u}},\overset{\rightarrow} {\mathrm{N}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{L}'\mathrm{angle}\:\mathrm{entre}\:\mathrm{la}\:\mathrm{droite}\:\mathrm{I}\:\mathrm{est}\:\mathrm{le}\:\mathrm{plan}\:\pi\:\mathrm{est} \\ $$$$\mathrm{le}\:\mathrm{complement}\:\mathrm{a}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\mathrm{de}\:\mathrm{l}'\mathrm{angle}\:\mathrm{entre} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{droite}\:\mathrm{I}\:\mathrm{et}\:\mathrm{un}\:\mathrm{vecteur}\:\mathrm{normal}\:\mathrm{au} \\ $$$$\mathrm{plan}\:\pi.\:\mathrm{Le}\:\mathrm{sinus}\:\mathrm{du}\:\mathrm{premier}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc} \\ $$$$\mathrm{egal}\:\mathrm{au}\:\mathrm{cosinus}\:\mathrm{du}\:\mathrm{second}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{sinus}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}. \\ $$

Commented by puissant last updated on 23/Jul/21

$$\mathrm{thanks} \\ $$

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