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Question-147879

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 147879 by 0731619 last updated on 24/Jul/21
Answered by puissant last updated on 24/Jul/21
I=∫(1/(x^5 +1))dx =∫(dx/((x+1)(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))) =∫((1/5)/(x+1))dx+∫((−(1/5)x^3 +(2/5)x^2 −(3/5)x+(4/5))/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))dx =(1/5)ln∣x+1∣−(1/5)∫((x^3 −2x^2 +3x−4)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))dx =(1/5)ln∣x+1∣−(1/(20))∫((4x^3 −8x^2 +12x−16)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))dx =(1/5)ln∣x+1∣−(1/(20))ln∣x^4 −x^3 +x^2 −x+1∣+(1/(20))∫((5x^2 −14x+15)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))dx let Q=(1/(20))∫((5x^2 −14x+15)/(x^4 −x^3 +x^2 −x+1))dx =(1/(20))∫((5x^2 −14x+15)/((x^2 +((((√5)−1)/2))x+1)(x^2 −((((√5)+1)/2))x+1)))dx =(1/(20))∫((Ax+B)/((x^2 +((((√5)−1)/2))x+1)))dx+(1/(20))∫((Cx+D)/((x^2 −((((√5)+1)/2))x+1))dx J=(1/(20))∫((Ax+b)/(x^2 +((((√5)−1)/2))x+1))dx =(1/(20))∫((2(√5)x+((13+15(√5))/(2(√5))))/(x^2 +((((√5)−1)/2))x+1))dx=(1/(4(√5)))∫((2x+((13+15(√5))/(10)))/(x^2 +((((√5)−1)/2))x+1))dx =(1/(4(√5)))∫((2x+(((√5)−1)/2))/(x^2 +((((√5)−1)/2))x+1))dx+(1/(4(√5)))∫((10(√5)+18)/(x^2 +((((√5)−1)/2))x+1))dx =(1/(4(√5)))ln∣x^2 +((((√5)−1)/2))x+1∣+((10(√5)+18)/(40(√5)))∫(dx/((x+(((√5)−1)/2))^2 +((√((10+2(√5))/(16))))^2 )) =(1/(4(√5)))ln∣x^2 +((((√5)−1)/2))x+1∣+((10(√5)+18)/(40(√5)))×(4/( (√(10+2(√5)))))arctan(((4x+(√5)−1)/( (√(10+2(√5))))))+C De facon analogue, on trouve (1/(20))∫((Cx+D)/(x^2 −((((√5)+1)/2))x+1))dx =−(1/(4(√5)))ln∣x^2 −((((√5)−1)/2))x+1∣−((10(√5)+18)/(40(√5)))×(4/( (√(10−2(√5)))))arctan(((4x−(√5)−1)/( (√(10−2(√5))))))+C apres sommation, on trouve: I=(1/5)ln∣x+1∣−(1/(20))ln∣x^4 −x^3 +x^2 −x+1∣+(1/(4(√5)))ln∣x^2 +((((√5)−1)/2))x+1∣ +((10(√5)+18)/(10(√5)))×(1/( (√(10+2(√5)))))arctan(((4x+(√5)−1)/( (√(10+2(√5))))))−(1/(4(√5)))ln∣x^2 −((((√5)+1)/2))x+1∣ +((10(√5)−18)/(10(√5)))×(1/( (√(10−2(√5)))))arctan(((4x−(√5)−1)/2))+K...
$$\mathrm{I}=\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\int\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\int\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}−\mathrm{4}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\int\frac{\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{8x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12x}−\mathrm{16}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\int\frac{\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14x}+\mathrm{15}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{Q}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\int\frac{\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14x}+\mathrm{15}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\int\frac{\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14x}+\mathrm{15}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\int\frac{\mathrm{Ax}+\mathrm{B}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\int\frac{\mathrm{Cx}+\mathrm{D}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right.}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{J}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\int\frac{\mathrm{Ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\int\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{13}+\mathrm{15}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}\int\frac{\mathrm{2x}+\frac{\mathrm{13}+\mathrm{15}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{10}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}\int\frac{\mathrm{2x}+\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}\int\frac{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{18}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{18}}{\mathrm{40}\sqrt{\mathrm{5}}}\int\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\frac{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{16}}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{18}}{\mathrm{40}\sqrt{\mathrm{5}}}×\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{4x}+\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{De}\:\mathrm{facon}\:\mathrm{analogue},\:\mathrm{on}\:\mathrm{trouve}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\int\frac{\mathrm{Cx}+\mathrm{D}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{18}}{\mathrm{40}\sqrt{\mathrm{5}}}×\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{4x}−\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{apres}\:\mathrm{sommation},\:\mathrm{on}\:\mathrm{trouve}: \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid \\ $$$$+\frac{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{18}}{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}}×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{4x}+\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid \\ $$$$+\frac{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{18}}{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}}×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{4x}−\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{K}… \\ $$

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