Question Number 147892 by mathdanisur last updated on 24/Jul/21
$${if}\:\:\:{x};{y};{z}>\mathrm{1}\:\:\:{then}: \\ $$$$\sqrt{\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({z}−\mathrm{1}\right)}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)\left({z}+\mathrm{1}\right)}\:}\:<\:\frac{{xyz}}{\mathrm{8}} \\ $$
Answered by mindispower last updated on 24/Jul/21
$$\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}<\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}…?\:\forall{x}>\mathrm{1} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{4}\left({x}−\mathrm{1}\right)<{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}−\mathrm{4}{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow{x}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{4}−\mathrm{4}{x}>\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\geqslant\mathrm{2}{x}\Rightarrow{x}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{4}−\mathrm{4}{x}>\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}=\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\forall{x}>\mathrm{1}\:\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}<\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}},\frac{{y}−\mathrm{1}}{{y}+\mathrm{1}}<\frac{{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}},\frac{{z}−\mathrm{1}}{{z}+\mathrm{1}}<\frac{{z}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({z}−\mathrm{1}\right)}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)\left({z}+\mathrm{1}\right)}<\frac{{x}^{\mathrm{2}} {y}^{\mathrm{2}} {z}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{64}} \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({z}−\mathrm{1}\right)}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)\left({z}+\mathrm{1}\right.}}<\frac{{xyz}}{\mathrm{8}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 24/Jul/21
$${Thankyou}\:{Sir}\:{cool} \\ $$