Question Number 148026 by mnjuly1970 last updated on 25/Jul/21
$$ \\ $$$$\mathrm{A}\::=\int_{−\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{0}} {e}^{\:{x}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}}} \:\:\&\:{a}\mathrm{A}+{e}^{{b}} =\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{{e}}\right)^{\:{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}} \\ $$$$\:\:{than}\::\:\:{a}+\:{b}\:=?\:\:\:\:\:{a}\:,\:{b}\:\in\:\mathbb{Z} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$
Answered by qaz last updated on 25/Jul/21
$$\mathrm{A}=\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mathrm{dx}=−\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{aA}+\mathrm{e}^{\mathrm{b}} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\right)^{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mathrm{dx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{A}+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$=\mathrm{A}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \right) \\ $$$$=\mathrm{A}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{2A}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{0} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 25/Jul/21
$${thanks}\:{alot}\:{m}\:{qaz}… \\ $$