Question Number 17475 by Arnab Maiti last updated on 06/Jul/17
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\int_{\mathrm{e}} ^{\mathrm{e}^{\mathrm{2}} } \frac{\mathrm{ln}{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{ln}{x}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{d}{x}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{6}}\left(\mathrm{2e}−\mathrm{3}\right) \\ $$
Answered by ajfour last updated on 06/Jul/17
![lnx=t ⇒ (dx/x)=dt or dx=e^t dt t=2 when x=e^2 , t=1 for x=e I=∫_e ^( e^2 ) ((ln x)/((1+ln x)^2 ))dx=∫_1 ^( 2) ((te^t )/((1+t)^2 ))dt =∫_1 ^( 2) e^t [(1/(1+t))−(1/((1+t)^2 ))]dt =((e^t /(1+t)))∣_1 ^2 =(e^2 /3)−(e^2 /2) =((e(2e−3))/6) .](https://www.tinkutara.com/question/Q17478.png)
$$\mathrm{lnx}=\mathrm{t}\:\:\:\Rightarrow\:\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}=\mathrm{dt}\:\:\mathrm{or}\:\:\mathrm{dx}=\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{t}=\mathrm{2}\:\mathrm{when}\:\mathrm{x}=\mathrm{e}^{\mathrm{2}} ,\:\:\mathrm{t}=\mathrm{1}\:\:\mathrm{for}\:\:\mathrm{x}=\mathrm{e} \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{e}} ^{\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2}} } \frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{ln}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{te}^{\mathrm{t}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\:\mathrm{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{t}} \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\right]\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:=\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{t}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\right)\mid_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:=\frac{\boldsymbol{\mathrm{e}}\left(\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{e}}−\mathrm{3}\right)}{\mathrm{6}}\:. \\ $$