Question Number 17506 by tawa tawa last updated on 06/Jul/17
$$\int\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\frac{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{1}}{\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}}}\right)\:\mathrm{dx} \\ $$
Answered by sma3l2996 last updated on 06/Jul/17
$${u}={tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}}\right)\Rightarrow{u}'=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}\sqrt{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)}}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$$${v}'=\mathrm{1}\Rightarrow{v}={x} \\ $$$${I}=\int{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}}\right){dx}={xtan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}+{c} \\ $$$${x}={cosh}\left({t}\right)\Rightarrow{dx}={sinh}\left({t}\right){dt}=\sqrt{{cosh}^{\mathrm{2}} {t}−\mathrm{1}}{dt} \\ $$$${dx}=\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{dt}\Leftrightarrow{dt}=\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$$$\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}=\int{dt}={t}+{c}_{\mathrm{0}} ={cosh}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)+{c}_{\mathrm{0}} ={ln}\left({x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)+{c}_{\mathrm{0}} \\ $$$${I}={x}.{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left({x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)+{C} \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 06/Jul/17
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$