Question Number 67021 by mathmax by abdo last updated on 21/Aug/19
$${find}\:{f}\left({x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left({x}\:+{e}^{−{t}} \right){dt}\:\:\:{with}\:{x}>\mathrm{0} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 25/Aug/19
$${we}\:{have}\:\:{f}^{'} \left({x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{dt}}{{x}+{e}^{−{t}} }{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{dt}}{\mathrm{1}+\frac{{e}^{−{t}} }{{x}}} \\ $$$${if}\:{x}>\mathrm{1}\:\:{we}\:{have}\:{f}^{'} \left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left(\frac{{e}^{−{t}} }{{x}}\right)^{{n}} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{e}^{−{nt}} {dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }\left(−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\left[\:\:{e}^{−{nt}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{nx}^{{n}+\mathrm{1}} }\left\{{e}^{−{n}} −\mathrm{1}\right\}\:=\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−{e}\right)^{{n}} }{{nx}^{{n}+\mathrm{1}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{nx}^{{n}+\mathrm{1}} }\:\Rightarrow \\ $$$${f}\left({x}\right)\:={ln}\left({x}\right)−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−{e}\right)^{{n}} }{{n}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{{x}} \:\frac{{dt}}{{t}^{{n}+\mathrm{1}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\int_{\mathrm{1}} ^{{x}} \:\frac{{dt}}{{t}^{{n}+\mathrm{1}} }\:+{C} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{{x}} \:\frac{{dt}}{{t}^{{n}+\mathrm{1}} }\:=\int_{\mathrm{1}} ^{{x}} \:{t}^{−{n}−\mathrm{1}} {dt}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{−{n}}{t}^{−{n}} \right]_{\mathrm{1}} ^{{x}} \:=\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{{n}} }\right)\:\Rightarrow \\ $$$${f}\left({x}\right)\:={ln}\left({x}\right)−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−{e}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{{n}} }\right)+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{{n}} }\right)+{C} \\ $$$${C}\:={f}\left(\mathrm{1}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{−{t}} \right){dt}\:\Rightarrow \\ $$$${f}\left({x}\right)={ln}\left({x}\right)−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−{e}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−{e}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} {x}^{{n}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \:{x}^{{n}} }\:\:\:\:\:….{be}\:{continued}…. \\ $$$$ \\ $$