Question Number 17767 by Joel577 last updated on 10/Jul/17
$$\underset{{n}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{30}} {\sum}}\left({n}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\right)\:=\: \\ $$$$\left(\mathrm{A}\right)\:\underset{{n}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{15}} {\sum}}\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{30}{n}\:+\:\mathrm{224}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{B}\right)\:\underset{{n}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{15}} {\sum}}\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{30}{n}\:+\:\mathrm{225}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{C}\right)\:\underset{{n}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{15}} {\sum}}\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{30}{n}\:+\:\mathrm{226}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{D}\right)\:\underset{{n}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{15}} {\sum}}\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{30}{n}\:+\:\mathrm{227}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{E}\right)\:\underset{{n}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{15}} {\sum}}\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{30}{n}\:+\:\mathrm{228}\right) \\ $$
Answered by Tinkutara last updated on 11/Jul/17
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{30}} {\sum}}\left({n}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{1}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}\:+\:…\:+\:\mathrm{30}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{30}×\mathrm{31}×\mathrm{61}}{\mathrm{6}}\:+\:\mathrm{30}\:=\:\mathrm{9485} \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mathrm{option}\:\left(\mathrm{D}\right)\:=\:\frac{{n}\left({n}\:+\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}\:+\:\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$+\:\mathrm{15}{n}\left({n}\:+\:\mathrm{1}\right)\:+\:\mathrm{227}{n} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{15}×\mathrm{16}×\mathrm{31}}{\mathrm{3}}\:+\:\mathrm{15}×\mathrm{15}×\mathrm{16}\:+\:\mathrm{227}×\mathrm{15} \\ $$$$=\:\mathrm{9485} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\left(\mathrm{D}\right). \\ $$