Question Number 18224 by Arnab Maiti last updated on 17/Jul/17
$$\int\mathrm{cos2x}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tanx}\right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by alex041103 last updated on 17/Jul/17
$${We}\:{integrate}\:{by}\:{parts} \\ $$$${u}={ln}\left(\mathrm{1}+{tan}\:{x}\right)\:\:\:{dv}={cos}\mathrm{2}{x} \\ $$$${du}=\frac{{sec}^{\mathrm{2}} {x}}{\mathrm{1}+{tanx}}\:\:\:\:{v}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{sin}\mathrm{2}{x}={sinx}\:{cosx} \\ $$$$\int\mathrm{cos2x}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tanx}\right)\mathrm{dx}= \\ $$$$={sin}\:{x}\:{cos}\:{x}\:{ln}\left(\mathrm{1}+{tanx}\right)−\int\:\:\frac{{tan}\:{x}}{\mathrm{1}+{tan}\:{x}}{dx} \\ $$$${But}\: \\ $$$$\frac{{tan}\:{x}}{\mathrm{1}+{tan}\:{x}}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{tan}\:{x}}=\mathrm{1}−\frac{{cos}\:{x}}{{sin}\:{x}+{cos}\:{x}}= \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{{cos}\:{x}\:+{sin}\:{x}\:}{{cos}\:{x}\:+{sin}\:{x}}+\frac{{cos}\:{x}\:−\:{sin}\:{x}}{{cos}\:{x}\:+\:{sin}\:{x}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\int\:\frac{{tan}\:{x}}{\mathrm{1}+{tan}\:{x}}{dx}={x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({x}+{ln}\mid{cosx}\:+\:{sin}\:{x}\mid\right) \\ $$$$=\frac{{x}}{\mathrm{2}}−\frac{{ln}\mid{cos}\:{x}\:+\:{sin}\:{x}\mid}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\int\mathrm{cos2x}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tanx}\right)\mathrm{dx}= \\ $$$$={sin}\:{x}\:{cos}\:{x}\:{ln}\left(\mathrm{1}+{tanx}\right)−\frac{{x}}{\mathrm{2}}+\frac{{ln}\mid{sin}\:{x}\:+\:{cos}\:{x}\mid}{\mathrm{2}}\:+\:{C} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$