Question Number 83774 by jagoll last updated on 06/Mar/20
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}−\mathrm{1}}\:−\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{8}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$${have}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{a}\:\leqslant\:{x}\:<\:{b}.\: \\ $$$${what}\:{is}\:{b}\:?\: \\ $$
Answered by john santu last updated on 06/Mar/20
$$\Rightarrow\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}−\mathrm{1}}\:−\mathrm{3log}_{\mathrm{3}} \:{x}\:+\:\mathrm{8}\:>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{let}\:\sqrt{\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}−\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{t}\:,\:\mathrm{t}\:\geqslant\:\mathrm{0}\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2t}\:−\:\mathrm{3}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{8}\:>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\:−\mathrm{2t}\:−\:\mathrm{8}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2t}\:−\mathrm{5}\:<\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\left(\mathrm{3t}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\:<\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:−\mathrm{1}\:<\:\mathrm{t}\:<\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{from}\:\left(\mathrm{i}\right)\:\&\:\left(\mathrm{ii}\right)\: \\ $$$$\mathrm{0}\:\leqslant\:\mathrm{t}\:<\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:\mathrm{0}\:\leqslant\:\sqrt{\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}−\mathrm{1}}\:<\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{0}\:\leqslant\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}−\mathrm{1}\:<\:\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\mathrm{1}\:\leqslant\:\mathrm{log}_{\mathrm{3}} \:{x}\:<\:\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{9}}\:\Leftrightarrow\:\mathrm{3}^{\mathrm{1}} \:\leqslant\:{x}\:<\:\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{9}}} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{b}\:=\:\mathrm{3}^{\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{9}}} \:\Leftarrow\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution} \\ $$$$ \\ $$
Commented by jagoll last updated on 06/Mar/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{mister} \\ $$