Question Number 83819 by jagoll last updated on 06/Mar/20
$$\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\mathrm{of}\:\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{continous} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathbb{R}\:\mathrm{and}\:\int\underset{\mathrm{0}} {\overset{\:\mathrm{x}} {\:}}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\:\int\underset{\mathrm{x}} {\overset{\:\mathrm{1}} {\:}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:\mathrm{dt}\:+\: \\ $$$$\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{c}\:,\:\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R}. \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{constant}\:\mathrm{c}\:\mathrm{is}\: \\ $$
Answered by john santu last updated on 06/Mar/20
![(d/dx)[ ∫ _0 ^( x) f(t)dt ] = (d/dx) [ ∫ _x ^( 1) t^2 f(t) dt + 2x^2 +4x+c ] f(x) = −x^2 f(x) + 4x + 4 (1+x^2 ) f(x) = 4x+4 f(x) = ((4x+4)/(x^2 +1)) ⇒ f(t) = ((4t+4)/(t^2 +1)) (1) ∫ _0 ^( x) ((2(2t))/(t^2 +1)) dt + ∫ _0 ^( x) (4/(t^2 +1)) dt= 2 ln ∣ x^2 +1∣ + 4 tan^(−1) (x) (2) ∫ _x ^( 1) ((4t^3 +4t^2 )/(t^2 +1)) dt + 2x^2 +4x+c = −2x^2 −4x+6 +∫ _x ^( 1) ((4−4t)/(t^2 +1)) dt +2x^2 −4x+c = 6+c + ∫ _1 ^( x) (4/(t^2 +1)) dt − 2∫ _1 ^( x) ((2t)/(t^2 +1)) dt = 6+c + 4 tan^(−1) (x)−π−2 ∫ _1 ^x (( d(t^2 +1))/(t^2 +1)) = 6+c + 4tan^(−1) (x)−π−2 ln ∣x^2 +1∣−ln (4) ∴ c = 6 − π −ln 4](https://www.tinkutara.com/question/Q83825.png)
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[\:\int\underset{\mathrm{0}} {\overset{\:\mathrm{x}} {\:}}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:\right]\:=\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\:\left[\:\int\underset{\mathrm{x}} {\overset{\:\mathrm{1}} {\:}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:\mathrm{dt}\:+\:\right. \\ $$$$\left.\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{c}\:\right]\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:+\:\mathrm{4x}\:+\:\mathrm{4}\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{4x}+\mathrm{4}\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{4x}+\mathrm{4}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\Rightarrow\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\:\frac{\mathrm{4t}+\mathrm{4}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\int\underset{\mathrm{0}} {\overset{\:\mathrm{x}} {\:}}\:\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\mathrm{dt}\:+\:\int\underset{\mathrm{0}} {\overset{\:\mathrm{x}} {\:}}\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\mathrm{dt}= \\ $$$$\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\mid\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\mid\:+\:\mathrm{4}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\int\underset{\mathrm{x}} {\overset{\:\mathrm{1}} {\:}}\:\frac{\mathrm{4t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\mathrm{dt}\:+\:\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{c}\:= \\ $$$$−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{6}\:+\int\underset{\mathrm{x}} {\overset{\:\mathrm{1}} {\:}}\:\frac{\mathrm{4}−\mathrm{4t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\mathrm{dt}\:+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{c} \\ $$$$=\:\mathrm{6}+\mathrm{c}\:+\:\int\underset{\mathrm{1}} {\overset{\:\mathrm{x}} {\:}}\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\mathrm{dt}\:−\:\mathrm{2}\int\underset{\mathrm{1}} {\overset{\:\mathrm{x}} {\:}}\:\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$=\:\mathrm{6}+\mathrm{c}\:+\:\mathrm{4}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)−\pi−\mathrm{2}\:\int\:\underset{\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{x}} {\:}}\:\frac{\:\mathrm{d}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=\:\mathrm{6}+\mathrm{c}\:+\:\mathrm{4tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)−\pi−\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\mid−\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\therefore\:\mathrm{c}\:=\:\mathrm{6}\:−\:\pi\:−\mathrm{ln}\:\mathrm{4} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 06/Mar/20
$$\mathrm{waw}…\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much} \\ $$