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x-2-20-xsin-x-5cos-x-2-dx-

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Question Number 83923 by jagoll last updated on 08/Mar/20
∫ ((x^2 +20)/((xsin x+5cos x)^2 )) dx = ?
$$\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{20}}{\left(\mathrm{xsin}\:\mathrm{x}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:=\:? \\ $$
Answered by john santu last updated on 08/Mar/20
⇒xsin x+5cos x = (√(x^2 +25)) cos (x−tan^(−1) ((x/5))) ⇔ ∫ ((x^2 +20)/(x^2 +25)) sec^2 (x−tan^(−1) ((x/5))) dx?= let x−tan^(−1) ((x/5)) = u du = 1 −(1/5) (1/(1+((x/5))^2 )) dx du = 1− (1/5) ((25)/((x^2 +25))) dx du = ((x^2 +20)/(x^2 +25)) dx ∫ sec^2 (u) du = tan (u) + c = tan (x−tan^(−1) ((x/5))) + c = ((tan x−(x/5))/(1+(x/5)tan x)) + c = ((5tan x−x)/(5+xtan x)) + c = ((5sin x−xcos x)/(5cos x+xsin x)) + c
$$\Rightarrow\mathrm{xsin}\:\mathrm{x}+\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}\:=\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{25}}\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{5}}\right)\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{20}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{25}}\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{5}}\right)\right)\:\mathrm{dx}?= \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{5}}\right)\:=\:\mathrm{u}\: \\ $$$$\mathrm{du}\:=\:\mathrm{1}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{du}\:=\:\mathrm{1}−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:\frac{\mathrm{25}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{25}\right)}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{du}\:=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{20}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{25}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\int\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}\right)\:\mathrm{du}\:=\:\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{u}\right)\:+\:\mathrm{c} \\ $$$$=\:\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{5}}\right)\right)\:+\:\mathrm{c} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{5}}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{5}}\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}\:+\:\mathrm{c} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{5tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{x}}{\mathrm{5}+\mathrm{xtan}\:\mathrm{x}}\:+\:\mathrm{c}\: \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{5sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{xcos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{5cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{xsin}\:\mathrm{x}}\:+\:\mathrm{c} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 08/Mar/20
thank you
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$

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