Question Number 84370 by Roland Mbunwe last updated on 12/Mar/20
$$\left.\mathrm{1}.\right)\:\mid{x}\mid\:+\mid{x}+\mathrm{2}\mid\:<\mathrm{5} \\ $$$$\left.\mathrm{2}.\right)\:\mid{x}\mid\:+\mid{x}+\mathrm{2}\mid\:+\:\mid\mathrm{2}−{x}\mid\:\leqslant\mathrm{8} \\ $$
Answered by john santu last updated on 12/Mar/20
$$\left.\mathrm{1}.\right)\:\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{2x}\:<\:\mathrm{3}\:,\:\mathrm{x}<\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{0}\:\leqslant\:\mathrm{x}\:<\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:−\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{x}+\mathrm{x}+\mathrm{2}<\:\mathrm{5}\:,\:\mathrm{x}\in\mathbb{R} \\ $$$$\Rightarrow\:−\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\:\mathrm{x}\:<−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:−\mathrm{2x}−\mathrm{2}<\mathrm{5} \\ $$$$−\mathrm{2x}\:<\:\mathrm{7}\:,\:\mathrm{x}\:>\:−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}<\mathrm{x}<−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{solution}\:\left(\mathrm{i}\right)\cup\left(\mathrm{ii}\right)\cup\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}<\mathrm{x}<\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by jagoll last updated on 12/Mar/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$
Answered by john santu last updated on 12/Mar/20
$$\left.\mathrm{2}.\right)\:\mid\mathrm{x}\mid\:+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid+\mid\mathrm{x}−\mathrm{2}\mid\:\leqslant\:\mathrm{8} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{3x}\:\leqslant\:\mathrm{8}\:,\:\mathrm{x}\:\leqslant\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}<\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{2x}+\mathrm{2}−\mathrm{x}+\mathrm{2}\leqslant\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{x}\:\leqslant\:\mathrm{4}\:\Rightarrow\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}<\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\:\mathrm{x}<−\mathrm{2}\:\Rightarrow−\mathrm{x}−\mathrm{x}−\mathrm{2}−\mathrm{x}+\mathrm{2}\leqslant\mathrm{8} \\ $$$$−\mathrm{3x}\:\leqslant\mathrm{8}\:,\:\mathrm{x}\:\geqslant−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{x}<−\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{iv}\right)\:−\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{x}+\mathrm{x}+\mathrm{2}−\mathrm{x}−\mathrm{2}\leqslant\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\:\geqslant−\mathrm{8}\:\Rightarrow\:−\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\::−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{x}<\mathrm{0}\vee \\ $$$$\mathrm{0}\:\leqslant\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:\:−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 12/Mar/20
$$\mathrm{good}\:\mathrm{sir} \\ $$