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x-6-3-x-5-3-x-4-3-3-x-6-x-5-x-4-x-

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Question Number 150181 by liberty last updated on 10/Aug/21
(x−6)^3 +(x−5)^3 +(x−4)^3 =3(x−6)(x−5)(x−4) x=?
$$\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{x}=? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Aug/21
(x−6)^3 +(x−5)^3 +(x−4)^3 =3(x−6)(x−5)(x−4) x=? (x−6_(a) )^3 +(x−5_(b) )^3 +(x−4_(c) )^3 −3(x−6)(x−5)(x−4)=0 a^3 +b^3 +c^3 −3abc=0 (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)=0 a+b+c=0 ∨ a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca=0 ^• a+b+c=0 (x−6)+(x−5)+(x−4) =0 3x−15=0 x=5 ^• a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca=0 (x−6)^2 +(x−5)^2 +(x−4)^2 −(x−6)(x−5)−(x−5)(x−4) −(x−4)(x−6)=0 (x^2 −12x+36)+(x^2 −10x+25)+(x^2 −8x+16) −(x^2 −11x+30)−(x^2 −9x+20)−(x^2 −10x+24)=0 −30x+30x+77−74=0 3≠0 x=5
$$\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{x}=? \\ $$$$\:\left(\underset{{a}} {\underbrace{\mathrm{x}−\mathrm{6}}}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\underset{{b}} {\underbrace{\mathrm{x}−\mathrm{5}}}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\underset{{c}} {\underbrace{\mathrm{x}−\mathrm{4}}}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} +{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{abc}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({a}+{b}+{c}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{bc}−{ca}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${a}+{b}+{c}=\mathrm{0}\:\vee\:{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{bc}−{ca}=\mathrm{0} \\ $$$$\:^{\bullet} {a}+{b}+{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)+\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\:=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{3x}−\mathrm{15}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{5} \\ $$$$\:^{\bullet} \:{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{bc}−{ca}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:−\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)−\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{6}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12x}+\mathrm{36}\right)+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}+\mathrm{25}\right)+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8x}+\mathrm{16}\right) \\ $$$$\:\:−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{11x}+\mathrm{30}\right)−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9x}+\mathrm{20}\right)−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}+\mathrm{24}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{30x}+\mathrm{30x}+\mathrm{77}−\mathrm{74}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{5}\: \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Aug/21
LOT of Thanks Sir
$$\mathrm{LOT}\:\mathrm{of}\:\mathrm{Than}\Bbbk\mathrm{s}\:\mathbb{S}\mathrm{ir} \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 11/Aug/21
there′s only one solution (x−a)^3 +(x−b)^3 +(x−c)^3 =3(x−a)(x−b)(x−c) ⇔ 3x^3 −3(a+b+c)x^2 +3(a^2 +b^2 +c^2 )x−(a^3 +b^3 +c^3 )= =3x^3 −3(a+b+c)x^2 +3(ab+ac+bc)x−3abc ⇔ 3(a^2 +b^2 +c^2 −ab−ac−bc)x=a^3 +b^3 +c^3 −3abc ⇔ 3(a^2 +b^2 +c^2 −ab−ac−bc)x= =(a^2 +b^2 +c^2 −ab−ac−bc)(a+b+c) ⇔ x=((a+b+c)/3)
$$\mathrm{there}'\mathrm{s}\:\mathrm{only}\:\mathrm{one}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\left({x}−{a}\right)^{\mathrm{3}} +\left({x}−{b}\right)^{\mathrm{3}} +\left({x}−{c}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}\left({x}−{a}\right)\left({x}−{b}\right)\left({x}−{c}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left({a}+{b}+{c}\right){x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} \right){x}−\left({a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} +{c}^{\mathrm{3}} \right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left({a}+{b}+{c}\right){x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({ab}+{ac}+{bc}\right){x}−\mathrm{3}{abc} \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{3}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{ac}−{bc}\right){x}={a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} +{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{abc} \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{3}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{ac}−{bc}\right){x}= \\ $$$$\:\:\:\:\:=\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{ab}−{ac}−{bc}\right)\left({a}+{b}+{c}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$${x}=\frac{{a}+{b}+{c}}{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Aug/21
sir, where is the spot,where I should reject x=3/10 in my solution?
$$\boldsymbol{\mathrm{sir}},\:{where}\:{is}\:{the}\:{spot},{where}\:{I}\:{should} \\ $$$${reject}\:{x}=\mathrm{3}/\mathrm{10}\:{in}\:{my}\:{solution}? \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 13/Aug/21
mistake: (x−5)^2 ≠(x^2 −20x+25) the 2^(nd) factor besides (a+b+c) is 3≠0
$$\mathrm{mistake}:\:\left({x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \neq\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{20}{x}+\mathrm{25}\right) \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{2}^{\mathrm{nd}} \:\mathrm{factor}\:\mathrm{besides}\:\left({a}+{b}+{c}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{3}\neq\mathrm{0} \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 13/Aug/21
you′re welcome!
$$\mathrm{you}'\mathrm{re}\:\mathrm{welcome}! \\ $$

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