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Find-all-integer-solutions-of-the-system-35x-63y-45z-1-x-lt-9-y-lt-5-z-lt-7-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 19198 by Tinkutara last updated on 07/Aug/17
Find all integer solutions of the system: 35x + 63y + 45z = 1, ∣x∣ < 9, ∣y∣ < 5, ∣z∣ < 7.
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{all}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}: \\ $$$$\mathrm{35}{x}\:+\:\mathrm{63}{y}\:+\:\mathrm{45}{z}\:=\:\mathrm{1},\:\mid{x}\mid\:<\:\mathrm{9},\:\mid{y}\mid\:<\:\mathrm{5}, \\ $$$$\mid{z}\mid\:<\:\mathrm{7}. \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 09/Aug/17
(−10,2,5) (−1,−3,5) (8,−3,−2) (−1,2,−2) is this correct?
$$\left(−\mathrm{10},\mathrm{2},\mathrm{5}\right) \\ $$$$\left(−\mathrm{1},−\mathrm{3},\mathrm{5}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{8},−\mathrm{3},−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(−\mathrm{1},\mathrm{2},−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{this}\:\mathrm{correct}? \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 13/Aug/17
what is kvs jmo?
$$\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{kvs}\:\mathrm{jmo}? \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 13/Aug/17
It is a Mathematics Olympiad in India.
$$\mathrm{It}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{Mathematics}\:\mathrm{Olympiad}\:\mathrm{in}\:\mathrm{India}. \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 13/Aug/17
Once you mentioned a nice book with many interesting mathematical questions. Can you tell me the book title and its author please.
$$\mathrm{Once}\:\mathrm{you}\:\mathrm{mentioned}\:\mathrm{a}\:\mathrm{nice}\:\mathrm{book}\:\mathrm{with} \\ $$$$\mathrm{many}\:\mathrm{interesting}\:\mathrm{mathematical}\:\mathrm{questions}. \\ $$$$\mathrm{Can}\:\mathrm{you}\:\mathrm{tell}\:\mathrm{me}\:\mathrm{the}\:\mathrm{book}\:\mathrm{title}\:\mathrm{and}\:\mathrm{its} \\ $$$$\mathrm{author}\:\mathrm{please}. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 13/Aug/17
bdmath.com/books Mathematical Olympiad Treasures Search for this book on the given site.
$$\mathrm{bdmath}.\mathrm{com}/\mathrm{books} \\ $$$$\mathrm{Mathematical}\:\mathrm{Olympiad}\:\mathrm{Treasures} \\ $$$$\mathrm{Search}\:\mathrm{for}\:\mathrm{this}\:\mathrm{book}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:\mathrm{site}. \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 13/Aug/17
wow, so many books even as pdf! thank you sir!
$$\mathrm{wow},\:\mathrm{so}\:\mathrm{many}\:\mathrm{books}\:\mathrm{even}\:\mathrm{as}\:\mathrm{pdf}!\: \\ $$$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}! \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 04/Oct/18
Sir, i don′t understand how to search the site. i typed bdmath.com/books. it is not showing anything sir
$$\mathrm{Sir},\:\mathrm{i}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{how}\:\mathrm{to}\:\mathrm{search}\:\mathrm{the}\:\mathrm{site}. \\ $$$$\mathrm{i}\:\mathrm{typed}\:\:\:\:\mathrm{bdmath}.\mathrm{com}/\mathrm{books}.\:\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{showing}\:\mathrm{anything}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 13/Aug/17
let′s find at first the general solution of 35x + 63y + 45z = 1 ⇒7(5x+9y)+45z=1 ⇒5x+9y=u ...(i) ⇒7u+45z=1 ...(ii) a particular solution of (ii) is: u_1 =−32 and z_1 =5 the general solution of (ii) is: u=−32+45m z=5−7m (with m=any integer) a particular solution of 5x+9y=1 is x_1 =2 and y_1 =−1 the general solution of 5x+9y=1 is x=2+9k y=−1−5k (with k=any integer) the general solution of (i) is then x=(2+9k)u=2×(−32+45m)+9uk=−64+90m+9n y=(−1−5k)u=−1×(−32+45m)−5uk=32−45m−5n with n=uk=any integer the requested general solution for 35x + 63y + 45z = 1 is therefore: { ((x=−64+90m+9n)),((y=32−45m−5n)),((z=5−7m)) :} with m, n=any integer for ∣z∣<7 −7<5−7m<7 −12<−7m<2 12/7>m>−2/7 ⇒m=0, 1 with m=0 x=−64+9n y=32−5n for ∣x∣<9 −9<−64+9n<9 55<9n<73 55/9<n<73/9 ⇒n=7,8 (∗) for ∣y∣<5 −5<32−5n<5 −37<−5n<−27 37/5>n>27/5 ⇒n=6,7 (∗) ⇒m=0, n=7 with m=1 x=−64+90+9n=26+9n y=32−45−5n=−13−5n for ∣x∣<9 −9<26+9n<9 −35<9n<−17 −39/9<n<−17/9 ⇒n=−4,−3,−2 (∗) for ∣y∣<5 −5<−13−5n<5 8<−5n<18 −8/5>n>−18/5 ⇒n=−3,−2 (∗) ⇒m=1, n=−3 or −2 now we have totally 3 solutions (m,n)=(0,7), (1,−3),(1,−2) or (x,y,z)=(−1,−3,5) (x,y,z)=(−1,2,−2) (x,y,z)=(−8,−3,−2)
$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{find}\:\mathrm{at}\:\mathrm{first}\:\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{35}{x}\:+\:\mathrm{63}{y}\:+\:\mathrm{45}{z}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{7}\left(\mathrm{5x}+\mathrm{9y}\right)+\mathrm{45z}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{5x}+\mathrm{9y}=\mathrm{u}\:\:\:…\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{7u}+\mathrm{45z}=\mathrm{1}\:\:…\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{is}: \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{32}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{is}: \\ $$$$\mathrm{u}=−\mathrm{32}+\mathrm{45m} \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{5}−\mathrm{7m}\:\left(\mathrm{with}\:\mathrm{m}=\mathrm{any}\:\mathrm{integer}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\mathrm{5x}+\mathrm{9y}=\mathrm{1}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\mathrm{5x}+\mathrm{9y}=\mathrm{1}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{2}+\mathrm{9k} \\ $$$$\mathrm{y}=−\mathrm{1}−\mathrm{5k}\:\left(\mathrm{with}\:\mathrm{k}=\mathrm{any}\:\mathrm{integer}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{then} \\ $$$$\mathrm{x}=\left(\mathrm{2}+\mathrm{9k}\right)\mathrm{u}=\mathrm{2}×\left(−\mathrm{32}+\mathrm{45m}\right)+\mathrm{9uk}=−\mathrm{64}+\mathrm{90m}+\mathrm{9n} \\ $$$$\mathrm{y}=\left(−\mathrm{1}−\mathrm{5k}\right)\mathrm{u}=−\mathrm{1}×\left(−\mathrm{32}+\mathrm{45m}\right)−\mathrm{5uk}=\mathrm{32}−\mathrm{45m}−\mathrm{5n} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{n}=\mathrm{uk}=\mathrm{any}\:\mathrm{integer} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{requested}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{for} \\ $$$$\mathrm{35}\boldsymbol{{x}}\:+\:\mathrm{63}\boldsymbol{{y}}\:+\:\mathrm{45}\boldsymbol{{z}}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{therefore}: \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{x}=−\mathrm{64}+\mathrm{90m}+\mathrm{9n}}\\{\mathrm{y}=\mathrm{32}−\mathrm{45m}−\mathrm{5n}}\\{\mathrm{z}=\mathrm{5}−\mathrm{7m}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{m},\:\mathrm{n}=\mathrm{any}\:\mathrm{integer} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{for}\:\mid\mathrm{z}\mid<\mathrm{7} \\ $$$$−\mathrm{7}<\mathrm{5}−\mathrm{7m}<\mathrm{7} \\ $$$$−\mathrm{12}<−\mathrm{7m}<\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{12}/\mathrm{7}>\mathrm{m}>−\mathrm{2}/\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{0},\:\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{m}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=−\mathrm{64}+\mathrm{9n} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{32}−\mathrm{5n} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{9} \\ $$$$−\mathrm{9}<−\mathrm{64}+\mathrm{9n}<\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{55}<\mathrm{9n}<\mathrm{73} \\ $$$$\mathrm{55}/\mathrm{9}<\mathrm{n}<\mathrm{73}/\mathrm{9} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{7},\mathrm{8}\:\:\:\left(\ast\right) \\ $$$$\mathrm{for}\:\mid\mathrm{y}\mid<\mathrm{5} \\ $$$$−\mathrm{5}<\mathrm{32}−\mathrm{5n}<\mathrm{5} \\ $$$$−\mathrm{37}<−\mathrm{5n}<−\mathrm{27} \\ $$$$\mathrm{37}/\mathrm{5}>\mathrm{n}>\mathrm{27}/\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{6},\mathrm{7}\:\:\:\left(\ast\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{0},\:\mathrm{n}=\mathrm{7} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{m}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}=−\mathrm{64}+\mathrm{90}+\mathrm{9n}=\mathrm{26}+\mathrm{9n} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{32}−\mathrm{45}−\mathrm{5n}=−\mathrm{13}−\mathrm{5n} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{9} \\ $$$$−\mathrm{9}<\mathrm{26}+\mathrm{9n}<\mathrm{9} \\ $$$$−\mathrm{35}<\mathrm{9n}<−\mathrm{17} \\ $$$$−\mathrm{39}/\mathrm{9}<\mathrm{n}<−\mathrm{17}/\mathrm{9} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=−\mathrm{4},−\mathrm{3},−\mathrm{2}\:\:\:\left(\ast\right) \\ $$$$\mathrm{for}\:\mid\mathrm{y}\mid<\mathrm{5} \\ $$$$−\mathrm{5}<−\mathrm{13}−\mathrm{5n}<\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{8}<−\mathrm{5n}<\mathrm{18} \\ $$$$−\mathrm{8}/\mathrm{5}>\mathrm{n}>−\mathrm{18}/\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=−\mathrm{3},−\mathrm{2}\:\:\:\left(\ast\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{1},\:\mathrm{n}=−\mathrm{3}\:\mathrm{or}\:−\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{totally}\:\mathrm{3}\:\mathrm{solutions} \\ $$$$\left(\mathrm{m},\mathrm{n}\right)=\left(\mathrm{0},\mathrm{7}\right),\:\left(\mathrm{1},−\mathrm{3}\right),\left(\mathrm{1},−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{or} \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(−\mathrm{1},−\mathrm{3},\mathrm{5}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(−\mathrm{1},\mathrm{2},−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(−\mathrm{8},−\mathrm{3},−\mathrm{2}\right) \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 13/Aug/17
If particular solution is u_1 = −32, how is general solution u_1 = −32 + 45m?
$$\mathrm{If}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:{u}_{\mathrm{1}} \:=\:−\mathrm{32},\:\mathrm{how} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:{u}_{\mathrm{1}} \:=\:−\mathrm{32}\:+\:\mathrm{45}{m}? \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 13/Aug/17
This is the basic to solve such questions. let′s have a look at ax+by=c. let′s say the greates common divisor of a and b is δ, i.e. δ=gcd(a,b). we see that a solution exists if and only if δ is a divisor of c. then: ax+by=c⇔(a/δ)x+(b/δ)y=(c/δ) or we write it as a′x+b′y=c′ with a′=(a/δ), etc. a′ and b′ are relatively prime and a′x+b′y=c′ has always solution. if a′x+b′y=c′ has a particular solution x_1 and y_1 , i.e. a′x_1 +b′y_1 =c′, then its general solution can be expressed as: x=x_1 +b′n y=y_1 −a′n (with n=any integer) this can be easily checked: a′(x_1 +b′n)+b′(y_1 −a′n) =a′x_1 +a′b′n+b′y_1 −b′a′n =a′x_1 +b′y_1 =c′ certainly you can also write the general solution as x=x_1 −b′n y=y_1 +a′n but this makes no difference since n can be any integer value. now we go back to your question. 7u+45z=1 δ=gcd(a,b)=gcd(7,45)=1 ⇒a′=7, b′=45, c′=1 7u+45z=1 has a particular solution: u_1 =−32 and z_1 =5 according to above its general solution is u=u_1 +b′m=−32+45m (or −32−45m) z=z_1 −a′m=5−7m (or 5+7m) I hope I could explain clearly enough.
$$\mathrm{This}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{basic}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{such}\:\mathrm{questions}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}\:\mathrm{look}\:\mathrm{at}\:\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{say}\:\mathrm{the}\:\mathrm{greates}\:\mathrm{common}\:\mathrm{divisor} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}\:\mathrm{is}\:\delta,\:\mathrm{i}.\mathrm{e}.\:\delta=\mathrm{gcd}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right). \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{see}\:\mathrm{that}\:\mathrm{a}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{exists}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if} \\ $$$$\delta\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{divisor}\:\mathrm{of}\:\mathrm{c}.\:\mathrm{then}: \\ $$$$\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{a}}{\delta}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{\delta}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{c}}{\delta} \\ $$$$\mathrm{or}\:\mathrm{we}\:\mathrm{write}\:\mathrm{it}\:\mathrm{as}\:\mathrm{a}'\mathrm{x}+\mathrm{b}'\mathrm{y}=\mathrm{c}'\:\mathrm{with}\:\mathrm{a}'=\frac{\mathrm{a}}{\delta},\:\mathrm{etc}. \\ $$$$\mathrm{a}'\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}'\:\mathrm{are}\:\mathrm{relatively}\:\mathrm{prime}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{a}'\mathrm{x}+\mathrm{b}'\mathrm{y}=\mathrm{c}'\:\mathrm{has}\:\mathrm{always}\:\mathrm{solution}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{a}'\mathrm{x}+\mathrm{b}'\mathrm{y}=\mathrm{c}'\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ,\:\mathrm{i}.\mathrm{e}.\:\mathrm{a}'\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{c}',\:\mathrm{then} \\ $$$$\mathrm{its}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{expressed}\:\mathrm{as}: \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{a}'\mathrm{n}\:\left(\mathrm{with}\:\mathrm{n}=\mathrm{any}\:\mathrm{integer}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{easily}\:\mathrm{checked}: \\ $$$$\mathrm{a}'\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{n}\right)+\mathrm{b}'\left(\mathrm{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{a}'\mathrm{n}\right) \\ $$$$=\mathrm{a}'\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}'\mathrm{b}'\mathrm{n}+\mathrm{b}'\mathrm{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{b}'\mathrm{a}'\mathrm{n} \\ $$$$=\mathrm{a}'\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{c}' \\ $$$$\mathrm{certainly}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{also}\:\mathrm{write}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{as} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{b}'\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{y}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}'\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{this}\:\mathrm{makes}\:\mathrm{no}\:\mathrm{difference}\:\mathrm{since}\:\mathrm{n}\:\mathrm{can} \\ $$$$\mathrm{be}\:\mathrm{any}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{value}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{we}\:\mathrm{go}\:\mathrm{back}\:\mathrm{to}\:\mathrm{your}\:\mathrm{question}. \\ $$$$\mathrm{7u}+\mathrm{45z}=\mathrm{1} \\ $$$$\delta=\mathrm{gcd}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\mathrm{gcd}\left(\mathrm{7},\mathrm{45}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}'=\mathrm{7},\:\mathrm{b}'=\mathrm{45},\:\mathrm{c}'=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{7u}+\mathrm{45z}=\mathrm{1}\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution}: \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{32}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{according}\:\mathrm{to}\:\mathrm{above}\:\mathrm{its}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{u}=\mathrm{u}_{\mathrm{1}} +\mathrm{b}'\mathrm{m}=−\mathrm{32}+\mathrm{45m}\:\left(\mathrm{or}\:−\mathrm{32}−\mathrm{45m}\right) \\ $$$$\mathrm{z}=\mathrm{z}_{\mathrm{1}} −\mathrm{a}'\mathrm{m}=\mathrm{5}−\mathrm{7m}\:\left(\mathrm{or}\:\mathrm{5}+\mathrm{7m}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{hope}\:\mathrm{I}\:\mathrm{could}\:\mathrm{explain}\:\mathrm{clearly}\:\mathrm{enough}. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 13/Aug/17
Thank you very much Sir! This explanation is very useful.
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}!\:\mathrm{This} \\ $$$$\mathrm{explanation}\:\mathrm{is}\:\mathrm{very}\:\mathrm{useful}. \\ $$

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