Question Number 84835 by Power last updated on 16/Mar/20
Commented by abdomathmax last updated on 16/Mar/20
$${S}=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{32}} \:\frac{{k}}{{k}+\mathrm{1}}\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{32}} \:\frac{{k}+\mathrm{1}−\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{32}} \left(\mathrm{1}\right)−\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{32}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{32}−\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{33}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:=\mathrm{32}−\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{33}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}+\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{34}−{H}_{\mathrm{33}} \:\:\:{with}\:{H}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$