Question Number 84986 by jagoll last updated on 18/Mar/20
$$\mathrm{5}^{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \:+\:\mathrm{625}\:\leqslant\:\mathrm{5}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{5}^{\mathrm{2x}+\mathrm{3}} \: \\ $$
Commented by mr W last updated on 18/Mar/20
$${x}\leqslant−\sqrt{\mathrm{2}}\:\vee\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\leqslant{x}\leqslant\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by john santu last updated on 18/Mar/20
$$\mathrm{5}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{625}\:\leqslant\:\mathrm{25}.\mathrm{5}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:+\:\mathrm{25}.\mathrm{5}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{5}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:.\mathrm{5}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{625}\:\leqslant\:\mathrm{25}.\mathrm{5}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:+\:\mathrm{25}.\mathrm{5}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}\:=\:\mathrm{5}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\&\:\mathrm{v}\:=\:\mathrm{5}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{uv}\:+\:\mathrm{625}\:\leqslant\:\mathrm{25u}\:+\:\mathrm{25v} \\ $$$$\mathrm{uv}\:−\mathrm{25u}\:−\mathrm{25v}\:+\:\mathrm{625}\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{v}−\mathrm{25}\right)−\mathrm{25}\left(\mathrm{v}−\mathrm{25}\right)\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{u}−\mathrm{25}\right)\left(\mathrm{v}−\mathrm{25}\right)\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}.\:\mathrm{5}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\geqslant\:\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \:\wedge\:\mathrm{5}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \:\leqslant\:\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}\leqslant\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\vee\mathrm{x}\geqslant\sqrt{\mathrm{2}}\:\wedge\:\mathrm{x}\leqslant\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{x}\:\leqslant\:−\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}.\:\Rightarrow\mathrm{5}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \:\leqslant\:\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \:\wedge\:\mathrm{5}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \:\geqslant\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \\ $$$$−\sqrt{\mathrm{2}}\:\leqslant\:\mathrm{x}\:\leqslant\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\wedge\:\mathrm{x}\:\geqslant\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\therefore\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{hence}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{x}\:\leqslant\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\vee\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 18/Mar/20
$$\mathrm{waw}..\mathrm{mr}\:\mathrm{w}\:\&\:\mathrm{mr}\:\mathrm{john}\:\mathrm{thanks} \\ $$