Question Number 150558 by mathdanisur last updated on 13/Aug/21
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{integers}: \\ $$$$\left(\mathrm{6x}\:+\:\mathrm{5y}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{4z}\:+\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{3z}\right)\:=\:\mathrm{2021} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 13/Aug/21
$$\mathrm{2021}=\mathrm{43}×\mathrm{47} \\ $$$${abc}=\mathrm{2021} \\ $$$$\mathrm{one}\:\mathrm{factor}\:=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{one}\:\mathrm{factor}\:=\mathrm{43} \\ $$$$\mathrm{one}\:\mathrm{factor}\:=\mathrm{47} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{6}{x}+\mathrm{5}{y}^{\mathrm{2}} ={a}\:\Rightarrow\:{y}^{\mathrm{2}} =\frac{{a}−\mathrm{6}{x}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{4}{z}+{x}={b} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{z}={c}\:\Rightarrow\:{y}^{\mathrm{2}} =\frac{{c}−\mathrm{3}{z}}{\mathrm{2}} \\ $$$$================ \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)/\left(\mathrm{3}\right)\:\:\mathrm{12}{x}−\mathrm{15}{z}−\mathrm{2}{a}+\mathrm{5}{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{2}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:{x}+\:\:\:\mathrm{4}{z}−{b}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{8}{a}+\mathrm{15}{b}−\mathrm{20}{c}}{\mathrm{63}}\wedge{z}=\frac{−\mathrm{2}{a}+\mathrm{12}{b}+\mathrm{5}{c}}{\mathrm{63}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${y}=\pm\sqrt{\frac{{a}−\mathrm{6}{b}+\mathrm{8}{c}}{\mathrm{21}}} \\ $$$$\mathrm{testing}\:\mathrm{all}\:\mathrm{variations}\:\mathrm{for}\:{a},\:{b},\:{c}\:=\:\mathrm{1},\:\mathrm{43},\:\mathrm{47} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{no}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{solution} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 14/Aug/21
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Ser}\:\mathrm{cool} \\ $$