Question Number 19658 by icyfalcon999 last updated on 14/Aug/17
$$=\frac{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=−\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{sec}\:\mathrm{x}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}{\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$