Question Number 85233 by jagoll last updated on 20/Mar/20
$$\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{domain}\:\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}\:\mathrm{for} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{2f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 20/Mar/20
$$\mathrm{replace}\:\mathrm{1}−\mathrm{x}\:\mathrm{by}\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{2f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{multiply}\:\mathrm{by}\:\mathrm{2}\:\mathrm{eq}\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{4f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{2f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{2f}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)−\left(\mathrm{i}\right)\: \\ $$$$\mathrm{3f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:,\:\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R} \\ $$