Question Number 86240 by Rio Michael last updated on 27/Mar/20
$$\mathrm{use}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Chinese}\:\mathrm{Remainder}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find} \\ $$$$\:\:{x}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:{x}\:\equiv\:\mathrm{2}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{x}\:\equiv\:\mathrm{3}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{5}\right) \\ $$$$\:\mathrm{3}{x}\equiv\:\mathrm{4}\left(\:\mathrm{mod}\:\mathrm{7}\right) \\ $$
Answered by mr W last updated on 28/Mar/20
$${x}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2}{x}=\mathrm{6}{k}+\mathrm{4}=\mathrm{5}{h}+\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{5}{h}−\mathrm{6}{k}=\mathrm{1}\:\:\:…\left({i}\right) \\ $$$$\mathrm{3}{x}=\mathrm{9}{k}+\mathrm{6}=\mathrm{7}{j}+\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{7}{j}−\mathrm{9}{k}=\mathrm{2}\:\:\:…\left({ii}\right) \\ $$$$\left({i}\right): \\ $$$${k}=\mathrm{5}{n}−\mathrm{1},\:{h}=\mathrm{6}{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\left({ii}\right): \\ $$$${k}=\mathrm{7}{m}−\mathrm{1},\:{j}=\mathrm{9}{m}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{5}{n}−\mathrm{1}=\mathrm{7}{m}−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{5}{n}−\mathrm{7}{m}=\mathrm{0}\:\:\:…\left({iii}\right) \\ $$$$\left({iii}\right): \\ $$$${n}=\mathrm{7}{p},\:{m}=\mathrm{5}{p} \\ $$$$\Rightarrow{k}=\mathrm{5}{n}−\mathrm{1}=\mathrm{35}{p}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}=\mathrm{105}{p}−\mathrm{1}=\mathrm{104},\:\mathrm{209},\:\mathrm{314},\:… \\ $$