Question Number 20907 by DKumar last updated on 07/Sep/17
$${How}\:{many}\:{zeroes}\:\left(\mathrm{0}\right)\:{there}\:{in}\:\mathrm{1}×\mathrm{2}×\mathrm{3}×\mathrm{4}……….\mathrm{99}×\mathrm{100}\: \\ $$
Answered by dioph last updated on 07/Sep/17
$$\mathrm{zeros}\:\mathrm{in}\:\mathrm{number}\:=\:\mathrm{maximum}\:\mathrm{integer} \\ $$$${n}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{10}^{{n}} =\mathrm{2}^{{n}} \mathrm{5}^{{n}} \:\mathrm{divides}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}. \\ $$$$\mathrm{As}\:\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{plenty}\:\mathrm{more}\:\mathrm{factors}\:\mathrm{of}\:\mathrm{2}\:\mathrm{than} \\ $$$$\mathrm{factors}\:\mathrm{of}\:\mathrm{5},\:\mathrm{we}\:\mathrm{will}\:\mathrm{find}\:{n}\:=\:\mathrm{number} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{factors}\:\mathrm{of}\:\mathrm{5}. \\ $$$$\mathrm{There}\:\mathrm{is}\:\mathrm{one}\:\mathrm{for}\:\mathrm{each}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of}\:\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{between}\:\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{100}\:\left(\mathrm{20}\:\mathrm{of}\:\mathrm{them}\right)\:+ \\ $$$$\mathrm{another}\:\mathrm{one}\:\mathrm{for}\:\mathrm{each}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{25}\:\mathrm{between}\:\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{100}\:\left(\mathrm{4}\:\mathrm{of}\:\mathrm{them}\right). \\ $$$$\mathrm{Hence},\:\mathrm{100}!\:\mathrm{ends}\:\mathrm{in}\:\mathrm{24}\:\mathrm{zeros}. \\ $$