Question Number 20939 by Hitler last updated on 08/Sep/17
$$\mathrm{Demostration}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{volume}\:\mathrm{of}\:\mathrm{an}\:\mathrm{sphere}\:\mathrm{V}=\frac{\mathrm{4}\pi\mathrm{r}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{z}^{\mathrm{2}} =\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{We}\:\mathrm{divide}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sphere}\:\mathrm{in}\:\mathrm{8}\:\mathrm{parts}.\:\mathrm{So}\:\mathrm{the}\:\mathrm{volume}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{part}\:\mathrm{is} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \int_{\mathrm{0}} ^{\:\sqrt{\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }} \sqrt{\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\partial\mathrm{y}\partial\mathrm{x}\:\:\mathrm{Lets}\:\mathrm{asumme}\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\partial\mathrm{y}\partial\mathrm{x} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \mathrm{a}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}}\right)^{\mathrm{2}} }\partial\mathrm{y}\partial\mathrm{x}\:\mathrm{Lets}\:\mathrm{assume}\:\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}}=\mathrm{sin}\theta\Rightarrow\frac{\partial\mathrm{y}}{\mathrm{a}}=\mathrm{cos}\theta\partial\theta \\ $$$$\int\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta}\mathrm{acos}\theta\partial\theta \\ $$$$\int\mathrm{acos}^{\mathrm{2}} \theta\partial\theta \\ $$$$\mathrm{a}\left(\frac{\theta}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{sin2}\theta}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\mathrm{a}\left(\frac{\mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} }\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \partial\mathrm{x} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}}\right)−\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \partial\mathrm{x} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \frac{\pi\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\partial\mathrm{x} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{r}} \frac{\pi\left(\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{4}}\partial\mathrm{x} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{6}\pi\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{2}\pi\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{24}}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{r}} \\ $$$$\frac{\pi\mathrm{r}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}=\mathrm{1}/\mathrm{8Volume}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sphrere}\:\mathrm{so}… \\ $$$$\mathbb{V}=\frac{\mathrm{4}\pi\mathrm{r}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\: \\ $$$$ \\ $$