Question Number 86476 by DuDono last updated on 28/Mar/20
$$\mathrm{show}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \alpha=−{i}\:\mathrm{ln}\:\left(\alpha\pm\sqrt{\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by MJS last updated on 28/Mar/20
$$\mathrm{the}\:\mathrm{path}\:\mathrm{is}\:\mathrm{this}: \\ $$$${y}=\mathrm{sin}\:{x} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{i}{x}} }{\mathrm{2}{i}} \\ $$$$\mathrm{2i}{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} } \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} ={t}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{2}{n}\pi−\mathrm{i}\:\mathrm{ln}\:{t} \\ $$$$\mathrm{2i}{y}={t}−\frac{\mathrm{1}}{{t}}\:\Rightarrow\:{t}=\mathrm{i}{y}\pm\sqrt{\mathrm{1}−{y}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{i}\left({y}\pm\sqrt{{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{insert}\:\mathrm{into}\:{x}=\mathrm{2}{n}\pi−\mathrm{i}\:\mathrm{ln}\:{t} \\ $$$$… \\ $$