Menu Close

tan-tan-3-1-tan-3-d-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 152273 by peter frank last updated on 27/Aug/21
∫ ((tan θ+tan^3 θ)/(1+tan^3 θ))dθ
$$\int\:\frac{\mathrm{tan}\:\theta+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} \theta}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} \theta}\mathrm{d}\theta \\ $$
Answered by qaz last updated on 27/Aug/21
∫((tan θ+tan^3 θ)/(1+tan^3 θ))dθ =∫((tan θ)/(1+tan^3 θ))d(tan θ) =∫((xdx)/(1+x^3 )) =∫(x/((x+1)(x^2 −x+1)))dx =(1/3)∫(((x+1)/(x^2 −x+1))−(1/(x+1)))dx =(1/6)∫((2x−1+3)/(x^2 −x+1))dx−(1/3)∫(1/(x+1))dx =(1/6)ln∣x^2 −x+1∣+(1/6)∙(1/(2∙(√(3/4))))tan^(−1) ((x−(1/2))/( (√(3/4))))−(1/3)ln∣x+1∣+C =(1/6)ln∣((x^2 −x+1)/((x+1)^2 ))∣+(1/( 6(√3)))tan^(−1) ((2x−1)/( (√3)))+C =(1/6)ln∣((tan^2 θ−tan θ+1)/((tanθ+1)^2 ))∣+(1/( 6(√3)))tan^(−1) ((2tan θ−1)/( (√3)))+C
$$\int\frac{\mathrm{tan}\:\theta+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} \theta}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} \theta}\mathrm{d}\theta \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{tan}\:\theta}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{3}} \theta}\mathrm{d}\left(\mathrm{tan}\:\theta\right) \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{xdx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}+\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\centerdot\sqrt{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{1}\mid+\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mid+\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \theta−\mathrm{tan}\:\theta+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{tan}\theta+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mid+\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2tan}\:\theta−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+\mathrm{C} \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *