Question Number 21356 by Tinkutara last updated on 21/Sep/17
$$\mathrm{Solve}\::\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}} }\:<\:\mathrm{8}^{\frac{{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{3}{x}−\mathrm{7}}} \\ $$
Answered by dioph last updated on 21/Sep/17
$${x}−\mathrm{1}\:\neq\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}\:\neq\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3}{x}−\mathrm{7}\:\neq\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}\:\neq\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}} \:<\:\mathrm{2}^{\mathrm{3}×\frac{{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{3}{x}−\mathrm{7}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}{x}−\mathrm{3}}\:<\:\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{9}}{\mathrm{3}{x}−\mathrm{7}} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{1}:\:\mathrm{1}\:<\:{x}\:<\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{7}\right)\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{7}\right)\:>\:\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}{x}+\mathrm{7}\:>\:\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{36}{x}\:+\:\mathrm{27} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{12}{x}\:>\:\mathrm{20} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}\:>\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}. \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{2}:\:{x}\:\in\:\left(−\infty,\mathrm{1}\right)\cup\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}},\infty\right) \\ $$$$\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{7}\right)\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{7}\right)\:<\:\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{12}{x}\:<\:\mathrm{20} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}\:<\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}. \\ $$$$\mathrm{putting}\:\mathrm{together}: \\ $$$${x}\:\in\:\left(−\infty,\mathrm{1}\right)\cup\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}},\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 22/Sep/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$