Question Number 21977 by Tinkutara last updated on 08/Oct/17
$$\mathrm{Let}\:{n}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{in}\:\mathrm{which} \\ $$$$\mathrm{5}\:\mathrm{boys}\:\mathrm{and}\:\mathrm{5}\:\mathrm{girls}\:\mathrm{stand}\:\mathrm{in}\:\mathrm{a}\:\mathrm{queue}\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{such}\:\mathrm{a}\:\mathrm{way}\:\mathrm{that}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{girls}\:\mathrm{stand} \\ $$$$\mathrm{consecutively}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{queue}.\:\mathrm{Let}\:\mathrm{m}\:\mathrm{be} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{in}\:\mathrm{which}\:\mathrm{5}\:\mathrm{boys} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{5}\:\mathrm{girls}\:\mathrm{can}\:\mathrm{stand}\:\mathrm{in}\:\mathrm{a}\:\mathrm{queue}\:\mathrm{in}\:\mathrm{such} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{way}\:\mathrm{that}\:\mathrm{exactly}\:\mathrm{four}\:\mathrm{girls}\:\mathrm{stand} \\ $$$$\mathrm{consecutively}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{queue}.\:\mathrm{Then}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\frac{{m}}{{n}}\:\mathrm{is} \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 09/Oct/17
$$\mathrm{n}=\mathrm{6}!×\mathrm{5}!\:\left(=\mathrm{86400}\right) \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} ×\mathrm{7}!×\mathrm{4}!−\mathrm{2}×\mathrm{6}!×\mathrm{5}!\:\left(=\mathrm{432000}\right) \\ $$$$\left[\mathrm{or}\:\mathrm{m}=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} ×\left(\mathrm{7}!−\mathrm{2}!×\mathrm{6}!\right)×\mathrm{4}!=\mathrm{432000}\right] \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} ×\mathrm{7}!×\mathrm{4}!}{\mathrm{6}!×\mathrm{5}!}−\mathrm{2}=\mathrm{7}−\mathrm{2}=\mathrm{5} \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 09/Oct/17
$$\mathrm{6}\:\mathrm{is}\:\mathrm{wrong}. \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 09/Oct/17
$$\mathrm{I}\:\mathrm{have}\:\mathrm{found}\:\mathrm{the}\:\mathrm{mistake}.\:\mathrm{see}\:\mathrm{correction}. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 09/Oct/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}!\:\mathrm{It}\:\mathrm{includes} \\ $$$$\mathrm{permutations}\:\mathrm{also}. \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Oct/17
$$\mathrm{Sir}\:\mathrm{mrW1} \\ $$$$\mathrm{Please}\:\mathrm{write}\:\mathrm{your}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{some}\:\mathrm{detail}\:\mathrm{in}\:\mathrm{order}\:\mathrm{to}\:\mathrm{make} \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{understand}.\mathrm{Thanks} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{advance}. \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 09/Oct/17
$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}: \\ $$$$\mathrm{BBB}\left[\mathrm{GGGGG}\right]\mathrm{BB} \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{the}\:\mathrm{five}\:\mathrm{girls}\:\mathrm{are}\:\mathrm{together},\:\mathrm{we} \\ $$$$\mathrm{treat}\:\mathrm{them}\:\mathrm{as}\:\mathrm{a}\:\mathrm{single}\:\mathrm{object}.\:\mathrm{to}\:\mathrm{arrange} \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{object}\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{five}\:\mathrm{boys}\:\mathrm{there}\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{6}!\:\mathrm{ways}.\:\mathrm{to}\:\mathrm{arrange}\:\mathrm{the}\:\mathrm{five}\:\mathrm{girls}\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{object}\:\mathrm{there}\:\mathrm{are}\:\mathrm{5}!\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{6}!\mathrm{5}! \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}: \\ $$$$\mathrm{BGBB}\left[\mathrm{GGGG}\right]\mathrm{BB} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{divide}\:\mathrm{the}\:\mathrm{five}\:\mathrm{girls}\:\mathrm{into}\:\mathrm{a}\:\mathrm{single} \\ $$$$\mathrm{person}\:\mathrm{G}\:\mathrm{and}\:\mathrm{a}\:\mathrm{groupe}\:\mathrm{with}\:\mathrm{4}\:\mathrm{persons} \\ $$$$\left[\mathrm{GGGG}\right].\:\mathrm{there}\:\mathrm{are}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} \:\mathrm{ways}\:\mathrm{to}\:\mathrm{do}\:\mathrm{this}. \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{arrange}\:\mathrm{the}\:\mathrm{four}\:\mathrm{girls}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{groupe} \\ $$$$\mathrm{there}\:\mathrm{are}\:\mathrm{4}!\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{arrange}\:\mathrm{the}\:\mathrm{five}\:\mathrm{boys}\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{single} \\ $$$$\mathrm{girl}\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{groupe}\:\mathrm{there}\:\mathrm{are}\:\mathrm{7}!\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} ×\mathrm{4}!×\mathrm{7}! \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{in}\:\mathrm{these}\:\mathrm{arrangements}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{also}\:\mathrm{G}\left[\mathrm{GGGG}\right]\:\mathrm{and}\:\left[\mathrm{GGGG}\right]\mathrm{G},\:\mathrm{both} \\ $$$$\mathrm{mean}\:\mathrm{that}\:\mathrm{five}\:\mathrm{girls}\:\mathrm{are}\:\mathrm{together}.\:\mathrm{these} \\ $$$$\mathrm{arrangements}\:\mathrm{must}\:\mathrm{be}\:\mathrm{excluded}. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} ×\mathrm{4}!×\mathrm{7}!−\mathrm{2n} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} ×\mathrm{4}!×\mathrm{7}!−\mathrm{2}×\mathrm{6}!×\mathrm{5}! \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Oct/17
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{again}! \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 09/Oct/17
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{sir}! \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 08/Oct/17
$$\mathrm{Number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{places}\:\mathrm{for}\:\mathrm{5}\:\mathrm{girls} \\ $$$$\mathrm{among}\:\mathrm{boys}\:\mathrm{represented}\:\mathrm{by}\left(−\right): \\ $$$$\:\:\:−\:\mathrm{b}_{\mathrm{1}} −\:\mathrm{b}_{\mathrm{2}} −\:\mathrm{b}_{\mathrm{3}} −\:\mathrm{b}_{\mathrm{4}} −\:\mathrm{b}_{\mathrm{5}} − \\ $$$$\mathrm{n}=\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{Number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{places}\:\mathrm{for}\:\mathrm{4}\:\mathrm{girls}=\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{Number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{places}\:\mathrm{for}\:\mathrm{5th}\:\mathrm{girl} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{each}\:\mathrm{of}\:\mathrm{6}\:\mathrm{cases}\:\mathrm{of}\:\mathrm{4}\:\mathrm{girls}=\mathrm{5} \\ $$$$\therefore\:\:\:\:\:\mathrm{m}=\mathrm{6}×\mathrm{5}=\mathrm{30} \\ $$$$\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{6}}=\mathrm{5} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 08/Oct/17
$$\mathrm{I}\:\mathrm{didn}'\mathrm{t}\:\mathrm{consider}\:\mathrm{order}\:\mathrm{between} \\ $$$$\mathrm{girls}\:\mathrm{themselves}\:\:\mathrm{or}\:\mathrm{boys}\:\mathrm{themselves}. \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{considerd}\:\mathrm{order}\:\mathrm{only}\:\mathrm{between}\:\mathrm{boys} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{girls}.\:\mathrm{Perhaps}\:\mathrm{I}'\mathrm{m}\:\mathrm{wrong}. \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 08/Oct/17
$$\mathrm{I}\:\mathrm{think}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{wording}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{question}\:\mathrm{doesn}'\mathrm{t}\:\mathrm{demand}\:\mathrm{order} \\ $$$$\mathrm{between}\:\mathrm{girls}\:\mathrm{when}\:\mathrm{it}\:\mathrm{says}\:“… \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{such}\:\mathrm{a}\:\mathrm{way}\:\mathrm{that}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{girls} \\ $$$$\mathrm{stand}\:\mathrm{consecutively}\:\mathrm{in}\:\mathrm{a}\:\mathrm{queue}.'' \\ $$$$\mathrm{This}\:\mathrm{means}\:\mathrm{order}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{matter}. \\ $$$$\mathrm{Only}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{girls}\:\mathrm{shoud}\:\mathrm{stand} \\ $$$$\mathrm{without}\:\mathrm{any}\:\mathrm{boy}/\mathrm{s}\:\mathrm{between}\:\mathrm{them}. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 09/Oct/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$