Question Number 153839 by liberty last updated on 11/Sep/21
Commented by mathdanisur last updated on 11/Sep/21
$$\mathrm{x}\left(\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}}\:+\:…\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{4041}}\right)\:=\:\mathrm{4041} \\ $$$$\blacktriangle\:\boldsymbol{\mathrm{A}}\:=\:\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}}\:+\:…\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\boldsymbol{\mathrm{n}}}\:=\:\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{n}}}{\boldsymbol{\mathrm{n}}\:+\:\mathrm{1}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{n}}\:=\:\mathrm{4041}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{\mathrm{A}}\:=\:\frac{\mathrm{2}\:\centerdot\:\mathrm{4041}}{\mathrm{4041}\:+\:\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{2}\:\centerdot\:\mathrm{4041}}{\mathrm{2}\:\centerdot\:\mathrm{2021}}\:=\:\frac{\mathrm{4041}}{\mathrm{2021}} \\ $$$$\Rightarrow\:\boldsymbol{\mathrm{x}}\:\centerdot\:\frac{\mathrm{4041}}{\mathrm{2021}}\:=\:\mathrm{4041}\:\Rightarrow\:\boldsymbol{\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{2021}\:\blacktriangle \\ $$
Answered by puissant last updated on 11/Sep/21
$$\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+…+\mathrm{4041}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{4042}}{\mathrm{2}×\mathrm{4041}}}\:=\:\frac{\mathrm{2}×\mathrm{4041}}{\mathrm{4042}}.. \\ $$$$\Rightarrow\:{x}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+..+\mathrm{4041}}\right)=\mathrm{4041} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\left(\mathrm{2}×\mathrm{4041}\right){x}}{\mathrm{4042}}=\mathrm{4041} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2}{x}}{\mathrm{4042}}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{2}{x}=\mathrm{4042}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{2021}.. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\therefore\because\:\:\:\:{x}=\mathrm{2021}….\blacksquare \\ $$