Question Number 154316 by mathdanisur last updated on 17/Sep/21
$$\mathrm{If}\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} }\:=\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{3}} }\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\:\left(\mathrm{xyz}\right)^{\mathrm{2025}} \:-\:\mathrm{1}\:=\:? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 17/Sep/21
$$ \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} }\:=\:\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{3}} }\:=\:\mathrm{1};\:\left(\mathrm{xyz}\right)^{\mathrm{2025}} \:-\:\mathrm{1}\:=\:? \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} }}\\{\mathrm{z}^{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{3}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}}\end{cases} \\ $$$$\:\blacktriangleright\left(\mathrm{xyz}\right)^{\mathrm{2025}} \:-\:\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{y}^{\mathrm{3}} \mathrm{z}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{675}} −\mathrm{1} \\ $$$$=\left(\left(\frac{\cancel{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}}{\cancel{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} }}\right)\left(\cancel{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} }\right)\left(−\frac{\mathrm{1}}{\cancel{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}}\right)\right)^{\mathrm{675}} −\mathrm{1} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{675}} −\mathrm{1}=−\mathrm{1}−\mathrm{1}=−\mathrm{2} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 17/Sep/21
$$\mathrm{Nice}\:\mathrm{Ser},\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$