Question Number 89451 by jagoll last updated on 17/Apr/20
$$\mathrm{log}_{\mathrm{5}} \:\left(\left(\mathrm{3}−{x}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\right)\:\geqslant\:\mathrm{log}_{\mathrm{5}} \left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{12}\right)+\mathrm{log}_{\mathrm{5}} \left(\mathrm{5}−{x}\right) \\ $$
Answered by john santu last updated on 17/Apr/20
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\left(\mathrm{3}−{x}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\:>\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\Rightarrow\:{x}\:<\:\mathrm{3}\: \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{12}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right)\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\Rightarrow{x}\:<\:\mathrm{3}\:\vee\:{x}\:>\:\mathrm{4} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{5}\:−{x}\:>\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}\:<\:\mathrm{5} \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right)\:\left(\mathrm{3}−{x}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\:\geqslant\:\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{5}−{x}\right)\: \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{3}−{x}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{3}−{x}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{5}−{x}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3}−{x}\right)\:\left\{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}{x}−\mathrm{20}\right\}\:\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3}−{x}\right)\left(\mathrm{9}{x}−\mathrm{18}\right)\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}\:\leqslant\:{x}\:\leqslant\:\mathrm{3} \\ $$$${solution}\::\:\mathrm{2}\:\leqslant\:{x}\:<\:\mathrm{3}\: \\ $$
Commented by jagoll last updated on 17/Apr/20
$${thank}\:{you} \\ $$