Question Number 89454 by student work last updated on 17/Apr/20
Commented by Tony Lin last updated on 17/Apr/20
$$\mathrm{32}{mod}\mathrm{7}=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{32}^{\mathrm{2}} {mod}\mathrm{7}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{32}^{\mathrm{3}} {mod}\mathrm{7}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{32}^{\mathrm{4}} {mod}\mathrm{7}=\mathrm{4} \\ $$$$\centerdot\centerdot\centerdot \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{32}^{\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}} {mod}\mathrm{7}=\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{32}^{\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}} {mod}\mathrm{7}=\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{32}^{\mathrm{3}{k}} {mod}\mathrm{7}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{32}{mod}\mathrm{3}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{32}^{\mathrm{2}} {mod}\mathrm{3}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{32}^{\mathrm{3}} {mod}\mathrm{3}=\mathrm{2} \\ $$$$\centerdot\centerdot\centerdot \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{32}^{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}} {mod}\mathrm{3}=\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{32}^{\mathrm{2}{k}} {mod}\mathrm{3}=\mathrm{1} \\ $$$$\therefore\mathrm{32}^{\mathrm{32}} {mod}\mathrm{3}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{32}^{\mathrm{32}^{\mathrm{32}} } {mod}\mathrm{7}=\mathrm{32}^{\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}} {mod}\mathrm{7}=\mathrm{4} \\ $$