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sin-1-ax-c-sin-1-bx-c-sin-1-x-When-a-2-b-2-c-2-

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Question Number 24098 by Sudipta Jana last updated on 12/Nov/17
sin^(−1) ((ax)/c)+sin^(−1) ((bx)/c)=sin^(−1) x [When a^2 +b^2 =c^2 ]
$$\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \frac{{ax}}{{c}}+\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \frac{{bx}}{{c}}=\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} {x}\:\:\:\:\:\left[{When}\:\:{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} ={c}^{\mathrm{2}} \:\right] \\ $$
Answered by 951172235v last updated on 05/Feb/19
((ax(√(c^2 −b^2 x^2 )))/c^2 ) + ((bx(√(c^2 −a^2 x^2 )))/c^2 ) =x x=0 or a (√(c^2 −b^2 x^2 )) +b(√(c^2 −a^2 x^2 )) = c^2 a^2 (c^2 −b^2 x^2 )+b^2 (c^2 −a^2 x^2 )+2ab(√((c^2 −b^2 x^2 )(c^2 −a^2 x^2 ))) =c^4 4a^4 b^4 x^4 =4a^2 b^2 (c^4 −c^4 x^2 +a^2 b^2 x^4 ) a^2 b^2 x^4 = c^4 −c^4 x^2 +a^2 b^2 x^4 x=±1 there are 3 solutions x=0,1,−1
$$ \\ $$$$\:\frac{\mathrm{ax}\sqrt{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{bx}\sqrt{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }\:\:=\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:\mathrm{a}\:\sqrt{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:+\mathrm{b}\sqrt{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:}\:\:=\:\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2ab}\sqrt{\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{4a}^{\mathrm{4}} \mathrm{b}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:=\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{c}^{\mathrm{4}} −\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right) \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\:\mathrm{c}^{\mathrm{4}} −\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{x}=\pm\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{there}\:\mathrm{are}\:\mathrm{3}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{x}=\mathrm{0},\mathrm{1},−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$

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