Question Number 90018 by Rio Michael last updated on 20/Apr/20
$$\mathrm{expand}\:,\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}\:+\:\mathrm{sin}\:{x}\right)\:\mathrm{right}\:\mathrm{up}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{term}\:\mathrm{in}\:{x}^{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 21/Apr/20
$${sinx}\:={x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\:+{o}\left({x}^{\mathrm{3}} \right)\:\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}+{sinx}\right)={ln}\left(\mathrm{1}+{x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\:+{o}\left({x}^{\mathrm{3}} \right)\right) \\ $$$${ln}^{'} \left(\mathrm{1}+{u}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{u}}\:=\mathrm{1}−{u}\:+{u}^{\mathrm{2}} −{u}^{\mathrm{3}} \:+{o}\left({u}^{\mathrm{3}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$${ln}\left(\mathrm{1}+{u}\right)={u}−\frac{{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\frac{{u}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:+{o}\left({u}^{\mathrm{3}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$${ln}\left(\mathrm{1}+{x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)={x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\left({x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:\:+{o}\left({x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$={x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{4}} \:+\frac{{x}^{\mathrm{6}} }{\mathrm{36}}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{3}} \:+{o}\left({x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$={x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{x}^{\mathrm{4}} −\frac{{x}^{\mathrm{6}} }{\mathrm{72}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{3}\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}+…\right)\:+{o}\left({x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$={x}−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} \:+{o}\left({x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$={x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{x}^{\mathrm{3}} \:+{o}\left({x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$
Commented by Rio Michael last updated on 21/Apr/20
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by mr W last updated on 21/Apr/20
$${y}=\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}\right)\:\Rightarrow{y}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${y}^{\left(\mathrm{1}\right)} =\frac{\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}}\:\Rightarrow{y}^{\left(\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${y}^{\left(\mathrm{2}\right)} =−\frac{\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}}−\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{1} \\ $$$${y}^{\left(\mathrm{3}\right)} =−\frac{\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}}+\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2cos}^{\mathrm{3}} \:{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}\right)^{\mathrm{3}} }\Rightarrow{y}^{\left(\mathrm{3}\right)} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}\right)={x}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}+{o}\left({x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$
Commented by Rio Michael last updated on 21/Apr/20
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{sir} \\ $$