Question Number 90544 by jagoll last updated on 24/Apr/20
$$\int\:\frac{{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{cos}\:{x}}} \\ $$
Answered by $@ty@m123 last updated on 24/Apr/20
$$\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}}}} \\ $$$$\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{2}+\mathrm{2tan}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}}}} \\ $$$$\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{3}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}}}} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}}} \\ $$$${Let}\:{t}=\mathrm{tan}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}} \\ $$$${dt}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}}{dx} \\ $$$${I}=\int\frac{\mathrm{2}{dt}}{\:\sqrt{\mathrm{3}+{t}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\mathrm{2ln}\:\left({t}+\sqrt{\mathrm{3}+{t}^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{C} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 25/Apr/20
$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$