Question Number 90637 by Tony Lin last updated on 25/Apr/20
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }{tan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right) \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA. last updated on 25/Apr/20
$${tan}\theta−{cot}\theta \\ $$$$=\frac{{tan}^{\mathrm{2}} \theta−\mathrm{1}}{{tan}\theta} \\ $$$$=−\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}−{tan}^{\mathrm{2}} \theta}{\mathrm{2}{tan}\theta}\right)=\frac{−\mathrm{2}}{{tan}\mathrm{2}\theta} \\ $$$${tan}\theta={cot}\theta−\mathrm{2}{cot}\mathrm{2}\theta \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{tan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{tan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }{tan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\right)+…\infty \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{tan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{cot}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\mathrm{2}{cot}\left(\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$${T}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{tan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{cot}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }×\mathrm{2}{cot}\left(\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$${T}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }{tan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }{cot}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }×\mathrm{2}{cot}\left(\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\right) \\ $$$$…. \\ $$$$…. \\ $$$${T}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }{tan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }{cot}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }×\mathrm{2}{cot}\left(\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right) \\ $$$${now}\:{add}\:{them} \\ $$$${S}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }{cot}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\mathrm{2}{cot}\left(\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$ \\ $$
Commented by Tony Lin last updated on 26/Apr/20
$${thanks}\:{sir} \\ $$
Commented by Tony Lin last updated on 26/Apr/20
$${then} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{cot}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)}{\mathrm{2}^{{n}} {sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)} \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }}{{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right)} \\ $$$${let}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }={t},{n}\rightarrow\infty\:,{t}\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{t}}{{sint}} \\ $$$$=\mathrm{1} \\ $$$${therefore}, \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }{tan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\right) \\ $$$$=\mathrm{1}−{cot}\mathrm{1} \\ $$$$\approx\mathrm{0}.\mathrm{3579} \\ $$
Commented by TANMAY PANACEA. last updated on 26/Apr/20
$${thank}\:{you}\:{sir}\:…{where}\:{i}\:{stopped}…{you}\:{helped}\: \\ $$$${to}\:{reach}\:{the}\:{goal}… \\ $$