Question Number 156419 by cortano last updated on 11/Oct/21
$$\mathrm{x}\:\mathrm{is}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{number}\: \\ $$$$\mathrm{can}\:\mathrm{you}\:\mathrm{check}\:\mathrm{if}\:\mathrm{Q}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left(\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right.} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{natural}\:\mathrm{number} \\ $$
Commented by mr W last updated on 11/Oct/21
$${x}=\mathrm{2}: \\ $$$${Q}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{4}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{240}}=\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{30}}\notin{N} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 11/Oct/21
$$\:\mathrm{Q}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\:\:\:\:=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{8x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{24x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{32x}+\mathrm{16}−\mathrm{x}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\:\:\:\:=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{8x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{24x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{32x}+\mathrm{16}} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{2}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{only}\:\mathrm{solution},\mathrm{I}\:\mathrm{think},\mathrm{is}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\mathrm{1}\:\in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{No}\:\mathrm{natural}\:\mathrm{x} \\ $$