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Question-156511

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Question Number 156511 by KONE last updated on 12/Oct/21
Answered by KONE last updated on 12/Oct/21
svp aide dans la question 2
$${svp}\:{aide}\:{dans}\:{la}\:{question}\:\mathrm{2} \\ $$
Answered by mindispower last updated on 12/Oct/21
((n!)/(k!))=Π_(j=k+1) ^n j Π_(k=0) ^(n−1) Π_(k+1) ^n j=Π_(k=0) ^(n−1) (k+1......n) =(1....n).(2.....n)(3......n).(4....n).....n =n^n .(n−1)^(n−1) ........2^2 .1^1 =Π_(k≤n) k^k
$$\frac{{n}!}{{k}!}=\underset{{j}={k}+\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}{j} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\underset{{k}+\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}{j}=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left({k}+\mathrm{1}……{n}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}….{n}\right).\left(\mathrm{2}…..{n}\right)\left(\mathrm{3}……{n}\right).\left(\mathrm{4}….{n}\right)…..{n} \\ $$$$={n}^{{n}} .\left({n}−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} ……..\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{1}^{\mathrm{1}} =\underset{{k}\leqslant{n}} {\prod}{k}^{{k}} \\ $$
Commented by puissant last updated on 12/Oct/21
Good sir Mindispower... Mr Kone c′est bien de dire merci pour montrer a celui qui t′a aide^� que tu as vu la reponse et que tu apprecies... ca ferra en sorte que prochainement on t′aide facilement... bonne continuation...
$${Good}\:{sir}\:{Mindispower}… \\ $$$${Mr}\:{Kone}\:{c}'{est}\:{bien}\:{de}\:{dire}\:{merci}\:{pour} \\ $$$${montrer}\:{a}\:{celui}\:{qui}\:{t}'{a}\:{aid}\acute {{e}}\:{que}\:{tu}\:{as}\: \\ $$$${vu}\:{la}\:{reponse}\:{et}\:{que}\:{tu}\:{apprecies}… \\ $$$${ca}\:{ferra}\:{en}\:{sorte}\:{que}\:{prochainement} \\ $$$${on}\:{t}'{aide}\:{facilement}…\: \\ $$$${bonne}\:{continuation}… \\ $$
Commented by KONE last updated on 13/Oct/21
salut a vous je m′excuse ma connexion n′etais pas trop en place merci bien a vous pour votre assistance
$${salut}\:{a}\:{vous}\:{je}\:{m}'{excuse}\:{ma}\:{connexion}\:{n}'{etais}\:{pas}\:{trop}\:{en}\:{place} \\ $$$${merci}\:{bien}\:{a}\:{vous}\:{pour}\:{votre}\:{assistance} \\ $$
Commented by KONE last updated on 13/Oct/21
svp je ne comprendsas trop la premiere ligne
$${svp}\:{je}\:{ne}\:{comprendsas}\:{trop}\:{la}\:{premiere}\:{ligne} \\ $$
Commented by puissant last updated on 14/Oct/21
Remarque que le produit commence a k+1 en fait ca va devenir Π_(j=k+1) ^n = (k+1)(k+2)....n or pour ecrire factoriel n, il faut commencer a 1 cet a dire 1.2.3....n maintenant comme on a pas ca, on ajoute 1.2.3...k=k! en haut et en bas cet a dire n(n−1)....(k+1)((k(k−1)...2.1)/(k(k−1)...2.1)) ca devient alors : ((n(n−1)...(k+1)k(k−1)....2.1)/(k(k−1)(k−2)....2.1)) = ((n!)/(k!)) bref c′est juste un petit jeu sur le produit qu′il faut remarquer... Cordialement..
$${Remarque}\:{que}\:{le}\:{produit}\:{commence}\:{a} \\ $$$${k}+\mathrm{1}\:{en}\:{fait}\:{ca}\:{va}\:{devenir}\: \\ $$$$\underset{{j}={k}+\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}=\:\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)….{n}\:{or}\:{pour}\:{ecrire}\:{factoriel} \\ $$$${n},\:{il}\:{faut}\:{commencer}\:{a}\:\mathrm{1}\:{cet}\:{a}\:{dire} \\ $$$$\mathrm{1}.\mathrm{2}.\mathrm{3}….{n}\:{maintenant}\:{comme}\:{on}\:{a}\:{pas}\:{ca}, \\ $$$${on}\:{ajoute}\:\mathrm{1}.\mathrm{2}.\mathrm{3}…{k}={k}!\:{en}\:{haut}\:{et}\:{en}\: \\ $$$${bas}\:{cet}\:{a}\:{dire}\:{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)….\left({k}+\mathrm{1}\right)\frac{{k}\left({k}−\mathrm{1}\right)…\mathrm{2}.\mathrm{1}}{{k}\left({k}−\mathrm{1}\right)…\mathrm{2}.\mathrm{1}} \\ $$$${ca}\:{devient}\:{alors}\:: \\ $$$$\:\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)…\left({k}+\mathrm{1}\right){k}\left({k}−\mathrm{1}\right)….\mathrm{2}.\mathrm{1}}{{k}\left({k}−\mathrm{1}\right)\left({k}−\mathrm{2}\right)….\mathrm{2}.\mathrm{1}}\:=\:\frac{{n}!}{{k}!} \\ $$$${bref}\:{c}'{est}\:{juste}\:{un}\:{petit}\:{jeu}\:{sur}\:{le}\:{produit} \\ $$$${qu}'{il}\:{faut}\:{remarquer}… \\ $$$$ \\ $$$${Cordialement}.. \\ $$

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