Question Number 91230 by waseemyaqoobese@gmail.com last updated on 28/Apr/20
$$\underset{{j}={o}} {\overset{{m}} {\sum}}\:\:\overset{{a}} {\:}{C}_{{j}} \:\overset{{b}} {\:}{C}_{{m}−{j}} \:\:=\:\overset{{a}+{b}} {\:}{C}_{{m}} \\ $$$${solve}\:{this}\:{problem} \\ $$
Answered by ~blr237~ last updated on 28/Apr/20
Answered by mr W last updated on 28/Apr/20
$${we}\:{can}\:{get}\:{the}\:{coef}.\:{of}\:{x}^{{m}} \:{in}\:\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{a}+{b}} \\ $$$${in}\:{two}\:{ways}: \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{a}+{b}} =\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{{a}+{b}} {\sum}}{C}_{{m}} ^{{a}+{b}} {x}^{{m}} \\ $$$${or} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{a}} \left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{b}} =\left(\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{a}} {\sum}}{C}_{{j}} ^{{a}} {x}^{{j}} \right)\left(\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{b}} {\sum}}{C}_{{i}} ^{{b}} {x}^{{i}} \right) \\ $$$$=\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{{a}+{b}} {\sum}}\left(\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{m}} {\sum}}{C}_{{j}} ^{{a}} {x}^{{j}} {C}_{{m}−{j}} ^{{b}} {x}^{{m}−{j}} \right) \\ $$$$=\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{{a}+{b}} {\sum}}\left(\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{m}} {\sum}}{C}_{{j}} ^{{a}} {C}_{{m}−{j}} ^{{b}} {x}^{{m}} \right) \\ $$$$\Rightarrow{C}_{{m}} ^{{a}+{b}} =\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{m}} {\sum}}{C}_{{j}} ^{{a}} {C}_{{m}−{j}} ^{{b}} \\ $$