Question Number 156807 by amin96 last updated on 15/Oct/21
$${f}\left({x}\right)={arctg}\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:\:{and}\:\alpha={f}\left(\mathrm{1}\right)+{f}\left(\mathrm{2}\right)+\ldots+{f}\left(\mathrm{21}\right) \\ $$$${find}\:\:{tg}\left(\alpha\right)=? \\ $$
Commented by amin96 last updated on 15/Oct/21
$$\left.{A}\left.\right)\left.\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{11}}\left.\:\left.\:\:\:{B}\right)\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{11}}\:\:\:{C}\right)\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{21}}\:\:\:\:{D}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{21}}\:\:\:\:{E}\right)\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{23}} \\ $$
Commented by amin96 last updated on 15/Oct/21
$${nope}\:{sir} \\ $$
Commented by ghimisi last updated on 15/Oct/21
$${arctg}\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}={arctg}\frac{\mathrm{1}}{{x}}−{arctg}\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$
Answered by gsk2684 last updated on 16/Oct/21
$${f}\left({x}\right)=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\left({x}+\mathrm{1}\right){x}}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\left({x}+\mathrm{1}\right)−{x}}{\mathrm{1}+\left({x}+\mathrm{1}\right){x}}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {x} \\ $$$$\alpha={f}\left(\mathrm{1}\right)+{f}\left(\mathrm{2}\right)+{f}\left(\mathrm{3}\right)+….+{f}\left(\mathrm{21}\right) \\ $$$$\alpha=\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:+\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{3}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:+\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{4}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:+… \\ $$$$\:\:\:\:+\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{22}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{21}\right) \\ $$$$\alpha=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{22}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{1}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{22}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{22}×\mathrm{1}}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{21}}{\mathrm{23}} \\ $$