Question Number 25865 by anonymous_ last updated on 15/Dec/17
$$\int\frac{\mathrm{2}+\mathrm{2}{x}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{dx} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 16/Dec/17
$$\frac{\mathrm{2}+\mathrm{2}{x}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}=\frac{{A}}{{x}−\mathrm{1}}+\frac{{Bx}+{C}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}+\mathrm{2}{x}={A}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({Bx}+{C}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:{A}+{B}=\mathrm{0},\:{C}−{B}=\mathrm{2}\:,\:{A}−{C}=\mathrm{2} \\ $$$${from}\:{first}\:{two}\:\:{C}+{A}=\mathrm{2} \\ $$$${so}\:\:{A}=\mathrm{2},\:{C}=\mathrm{0},\:{B}=−\mathrm{2} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{2}+\mathrm{2}{x}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{dx}\:= \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}\int\frac{{dx}}{{x}−\mathrm{1}}−\int\frac{\mathrm{2}{xdx}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{2ln}\:\mid{x}−\mathrm{1}\mid−\mathrm{ln}\:\mid{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\mid+{c}\:. \\ $$