Question Number 91448 by Cynosure last updated on 30/Apr/20
$${prove}\:{that}\:\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{111}} +{x}^{\mathrm{222}} +{x}^{\mathrm{333}} +{x}^{\mathrm{444}} \:\:{divides}\:\mathrm{1}+\:{x}^{\mathrm{111}} +{x}^{\mathrm{222}} +{x}^{\mathrm{333}} +…….+{x}^{\mathrm{999}} \\ $$
Commented by Cynosure last updated on 30/Apr/20
$${pls}\:{help}\:{me}\:{on}\:{this}\: \\ $$
Commented by Prithwish Sen 1 last updated on 30/Apr/20
$$\mathrm{putting}\:\mathrm{x}^{\mathrm{111}} \:=\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{then}\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{a}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +…..+\mathrm{a}^{\mathrm{9}} }{\mathrm{1}+\mathrm{a}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{a}^{\mathrm{4}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{10}} }{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{5}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{5}} \right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{5}} }\:=\:\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{5}} \\ $$$$\:=\:\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{555}} \boldsymbol{\mathrm{proved}}. \\ $$
Commented by Cynosure last updated on 30/Apr/20
$$ \\ $$$$ \\ $$$${i}\:{think}\:{it}\:{should}\:{be}\:{solved}\:{in}\:{this}\:{manner} \\ $$$$\mathrm{then}\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{a}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +…..+\mathrm{a}^{\mathrm{9}} }{\mathrm{1}+\mathrm{a}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{a}^{\mathrm{4}} }\:=\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{10}} −\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{1}}\:=\:\frac{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{5}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{a}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$