Question Number 158159 by cortano last updated on 31/Oct/21
$$\:\:\:\:\:\:\int\:\frac{{dx}}{\mathrm{3}−\mathrm{tan}\:{x}}\:=? \\ $$
Answered by peter frank last updated on 31/Oct/21
$$\int\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{3cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{t}−\mathrm{substitution} \\ $$$$\mathrm{t}=\mathrm{tan}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by bobhans last updated on 31/Oct/21
![let tan x = h ⇒dh=sec^2 x dx ⇒ dx =(dh/(1+h^2 )) I=∫ (dh/((1+h^2 )(3−h))) (∗) (1/((1+h^2 )(3−h))) = (A/(3−h)) + ((Bh+C)/(1+h^2 )) (•) A=[(1/(1+h^2 )) ]_(h=3) = (1/(10)) (•) lim_(h→∞) hf(h)=lim_(h→∞) ((h/(10(3−h))) +((Bh^2 +Ch)/(1+h^2 )))=0 ⇒−(1/(10))+B=0→B=(1/(10)) F(0)=(1/3)=(1/(30))+C⇒C=(3/(10)) I=∫ (1/(10(3−h))) dh +∫ ((h+3)/(10(1+h^2 ))) dh I=−(1/(10)) ln ∣3−h∣ +(1/(20))∫ ((2h+6)/(1+h^2 )) dh I=−(1/(10)) ln ∣3−h∣+(1/(20))∫ ((d(1+h^2 ))/(1+h^2 )) +(3/(10))∫ (dh/(1+h^2 )) I=−(1/(10))ln ∣3−h∣ +(1/(20)) ln ∣1+h^2 ∣+(3/(10)) arctan (h)+ c I=−(1/(10)) ln∣3−tan x∣+(1/(20))ln ∣sec^2 x∣ +(3/(10))arctan (tan x)+ c I=((3x)/(10))−(1/(10)) ln ∣3−tan x∣ −(1/(10)) ln ∣cos x∣ + c I=((3x)/(10))−(1/(10)) ln ∣3cos x−sin x∣ + c](https://www.tinkutara.com/question/Q158172.png)
$$\:\mathrm{let}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{h}\:\Rightarrow\mathrm{dh}=\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{dh}}{\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} }\: \\ $$$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{dh}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{h}\right)}\: \\ $$$$\:\left(\ast\right)\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{h}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{3}−\mathrm{h}}\:+\:\frac{\mathrm{Bh}+\mathrm{C}}{\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\left(\bullet\right)\:\mathrm{A}=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} }\:\right]_{\mathrm{h}=\mathrm{3}} =\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}} \\ $$$$\left(\bullet\right)\:\underset{\mathrm{h}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{hf}\left(\mathrm{h}\right)=\underset{\mathrm{h}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{10}\left(\mathrm{3}−\mathrm{h}\right)}\:+\frac{\mathrm{Bh}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Ch}}{\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} }\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\mathrm{B}=\mathrm{0}\rightarrow\mathrm{B}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{30}}+\mathrm{C}\Rightarrow\mathrm{C}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}} \\ $$$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}\left(\mathrm{3}−\mathrm{h}\right)}\:\mathrm{dh}\:+\int\:\frac{\mathrm{h}+\mathrm{3}}{\mathrm{10}\left(\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} \right)}\:\mathrm{dh} \\ $$$$\mathrm{I}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{3}−\mathrm{h}\mid\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\int\:\frac{\mathrm{2h}+\mathrm{6}}{\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dh} \\ $$$$\mathrm{I}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{3}−\mathrm{h}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\int\:\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}\int\:\frac{\mathrm{dh}}{\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{I}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{3}−\mathrm{h}\mid\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{1}+\mathrm{h}^{\mathrm{2}} \mid+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}\:\mathrm{arctan}\:\left(\mathrm{h}\right)+\:\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{I}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:\mathrm{ln}\mid\mathrm{3}−\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\mid\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}\mathrm{arctan}\:\left(\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\right)+\:\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{10}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{3}−\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\mid\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\mid\:+\:\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{10}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{3cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\mid\:+\:\mathrm{c}\:\: \\ $$