Question Number 93166 by john santu last updated on 11/May/20
Answered by john santu last updated on 11/May/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{put}\:\mathrm{the}\:\mathrm{right}\:\mathrm{angle}\:\mathrm{at}\:\mathrm{B}\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right)\:,\:\mathrm{A}\left(\mathrm{0},\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{C}\left(\mathrm{4},\mathrm{0}\right)\:.\:\mathrm{for}\:\mathrm{a}\:\mathrm{general}\:\mathrm{right}\:\mathrm{triangle} \\ $$$$\mathrm{A}\left(\mathrm{0},\mathrm{a}\right),\:\mathrm{B}\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right),\mathrm{C}\left(\mathrm{c},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{X}\left({x},\mathrm{y}\right)\:\Rightarrow\mathrm{T}\left({x},\mathrm{y}\right)=\: \\ $$$$\mathrm{AX}^{\mathrm{2}} +\mathrm{BX}^{\mathrm{2}} +\mathrm{CX}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{T}=\:\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({cx}+{ay}\right)+{a}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$${we}\:{complete}\:{square}\: \\ $$$$\mathrm{T}=\:\mathrm{3}\left(\left({x}−\frac{{c}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9}}\right)\:+\:\mathrm{3}\left(\left({y}−\frac{{a}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9}}\right) \\ $$$$+\:{a}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$${that}\:{clearly}\:{has}\:{a}\:{minimum}\:{at}\: \\ $$$$\left({x},\mathrm{y}\right)\:=\:\left(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{3}},\frac{{a}}{\mathrm{3}}\right)\:.\:\mathrm{For}\:{a}\:=\:\mathrm{3}\:,\:\mathrm{c}\:=\:\mathrm{4}\: \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{T}_{\mathrm{min}} \:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}^{\mathrm{2}} \right)\:=\:\frac{\mathrm{50}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{at}\:\mathrm{X}\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}},\:\mathrm{1}\right)\: \\ $$
Commented by i jagooll last updated on 11/May/20
$$\mathrm{cool}..== \\ $$