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lim-x-1-x-1-x-2-1-x-3-1-x-1-x-2-1-x-4-1-

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Question Number 159318 by tounghoungko last updated on 15/Nov/21
lim_(x→1) (((√(x+1))+(√(x^2 −1))−(√(x^3 +1)))/( (√(x−1))+(√(x^2 +1)) −(√(x^4 +1)))) =?
$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\sqrt{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:−\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}\:=? \\ $$
Commented by bobhans last updated on 16/Nov/21
lim_(x→1^+ ) ((((√(x+1))−(√(x^3 +1)))+(√(x^2 −1)))/( (√(x−1))+((√(x^2 +1))−(√(x^4 +1))))) = lim_(x→1^+ ) ((((x(1−x^2 ))/( (√(x+1))+(√(x^3 +1)))) +(√2) (√(x−1)))/( (√(x−1))+((x^2 (1−x^2 ))/( (√(x^2 +1))+(√(x^4 +1)))))) = lim_(x→1^+ ) ((((x(1−x)(1+x))/(2(√2)))+(√2) (√(x−1)))/( (√(x−1))+((x^2 (1−x)(1+x))/(2(√2))))) = lim_(x→1^+ ) ((x((√(1−x)))^2 (1+x)+4(√(x−1)))/(2(√2) (√(x−1))+x^2 ((√(1−x)))^2 (1+x))) =lim_(x→1^+ ) ((x(√(1−x)) (1+x)+4)/(2(√2)+x^2 ((√(1−x)))(1+x))) = (4/(2(√2))) = (√2) .
$$\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\frac{\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\right)+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\right)} \\ $$$$=\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\frac{\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}} \\ $$$$=\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\frac{\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}} \\ $$$$=\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\frac{\mathrm{x}\left(\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)+\mathrm{4}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:=\:\sqrt{\mathrm{2}}\:. \\ $$
Answered by FongXD last updated on 15/Nov/21
L=lim_(x→1) (((((√(x+1))−(√(x^3 +1)))/( (√(x−1))))+((√(x^2 −1))/( (√(x−1)))))/(((√(x−1))/( (√(x−1))))+(((√(x^2 +1))−(√(x^4 +1)))/( (√(x−1)))))) L=lim_(x→1) ((((x(1−x^2 ))/( (√(x−1))((√(x+1))+(√(x^3 +1)))))+(√(x+1)))/(1+((x^2 (1−x^2 ))/( (√(x−1))((√(x^2 +1))+(√(x^4 +1))))))) L=lim_(x→1) ((((−x(x+1)((√(x−1)))^2 )/( (√(x−1))((√(x+1))+(√(x^3 +1)))))+(√(x+1)))/(1+((−x^2 (x+1)((√(x−1)))^2 )/( (√(x−1))((√(x^2 +1))+(√(x^4 +1))))))) L=lim_(x→1) ((((−x(x+1)(√(x−1)))/( (√(x+1))+(√(x^3 +1))))+(√(x+1)))/(1−((x^2 (x+1)(√(x−1)))/( (√(x^2 +1))+(√(x^4 +1)))))) L=((0+(√(1+1)))/(1−0))=(√2)
$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}}{\frac{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}} \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\right)}+\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\right)}} \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{−\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\left(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\right)}+\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+\frac{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\right)}} \\ $$$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{−\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}}+\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}} \\ $$$$\mathrm{L}=\frac{\mathrm{0}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{1}}}{\mathrm{1}−\mathrm{0}}=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$

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