Question Number 159338 by zakirullah last updated on 15/Nov/21
$${define}\:{increasing} \\ $$$${and}\:{decreasing}\:{function}\:{with}\:{example}? \\ $$
Answered by physicstutes last updated on 15/Nov/21
$$\boldsymbol{\mathrm{increasing}}\:\boldsymbol{\mathrm{function}} \\ $$$$\mathrm{Let}\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{function}.\:\mathrm{Then} \\ $$$${f}\left({x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{increasing}\:\mathrm{function} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{it}\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{gradient}. \\ $$$$\mathrm{That}\:\mathrm{is}\:{f}\:'\left({x}\right)\:>\mathrm{0}\:. \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{example}:\:{f}\left({x}\right)\:=\:{x}^{\mathrm{3}} \:+\:{x} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{always}\:\mathrm{increasing}.\:\mathrm{Why}? \\ $$$${f}\:'\left({x}\right)\:=\:\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\:>\:\mathrm{0}\:\:\forall\:{x}\:\in\mathbb{R}. \\ $$$$ \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{decreasing}}\:\boldsymbol{\mathrm{function}} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{g}\left({x}\right)\:\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{function}.\:\mathrm{Then}\:\mathrm{g}\left({x}\right)\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{called}\:\mathrm{a}\:\mathrm{decreasing}\:\mathrm{function}\:\mathrm{if}\:\mathrm{it}\:\mathrm{has} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{negative}\:\mathrm{gradient}.\:\mathrm{That}\:\mathrm{is}\:\mathrm{g}'\left({x}\right)\:<\:\mathrm{0}. \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{example}: \\ $$$$\mathrm{g}\left({x}\right)\:=\:−{x}^{\mathrm{3}} −{x}\:\mathrm{is}\:\mathrm{always}\:\mathrm{decreasing}. \\ $$$$\mathrm{Why}? \\ $$$$\mathrm{g}'\left({x}\right)\:=\:−\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\:<\:\mathrm{0}\:\forall{x}\in\mathbb{R} \\ $$
Commented by zakirullah last updated on 16/Nov/21
$${very}\:{well}\:{sir}\:{G} \\ $$